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《微分中值定理輔助函數(shù)類型的構造技巧.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在工程資料-天天文庫。
1、輔助函數(shù)的幾種特殊用法在高等數(shù)學中，證明一些中值等式的題目也是比較困難的。因為一般我們要花大量的時間去找一個恰當?shù)妮o助函數(shù)，如果我們能熟悉一些特殊類型題目的輔助函數(shù)的構造及相關定理的運用，這樣就會為我們解題提供方便，從而節(jié)約大量的時間。為此我們需要牢記以下幾種常見題型中輔助函數(shù)的特殊用法。(1)若題目中出現(xiàn)等式“”時，一般可以考慮作輔助函數(shù).例:設函數(shù)在上可微，且證明：，，使得分析:要證，即證，也就是證函數(shù)的零點.注意到，因此，只要檢驗函數(shù)是否滿足羅爾中值定理條件，但這是明顯的.證明:構造輔助函數(shù)，，則在上滿足羅爾定理條件，故，使得，而
2、，則，即.(2)若題目結論中出現(xiàn)等式“”時，可考慮作副主函數(shù)，.例:設函數(shù)在上連續(xù)，在內可微.證明：，使得：.證明:i）若作輔助函數(shù)，，，均滿足柯西中值定理條件所以使得，即.ii）若，由i）可類似得證.iii）若，，取，即證.(3)若題目結論中出現(xiàn)“”時，可以考慮作輔助函數(shù)，.例:設函數(shù)在上連續(xù)，在內可微.證明：使得,證明:因為,考慮作輔助函數(shù)，，顯然與在上滿足柯西中值定理條件，所以必，使得即證畢.(4)若命題結論中出現(xiàn)式“”時，可考慮作輔助函數(shù)，.例:設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，證明：必有，使得.分析:我們熟悉，因此作輔助函數(shù)，，且知，
3、在給定區(qū)間內均滿足柯西中值定理條件，故有，即得證.(5)若題目中出現(xiàn)式“”時，可考慮作輔助函數(shù)，.例:設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，則存在使得證明:由我們熟悉的，考慮作輔助函數(shù)，且在給定的區(qū)間內均滿足柯西中值定理條件，于是，使得，即，證畢.(6)若命題結論中出現(xiàn)等式“”的關系時，可考慮的輔助函數(shù)為例:設在上連續(xù)，，在內可導，且，證明：使得.證明:設，顯然在上連續(xù)，而在在內存在，且，故在上滿足羅爾中值定理條件，于是必使得，所以，而，所以.證畢.（7)若題目中出現(xiàn)等式“”，的關系時，則往往考慮構造輔助函數(shù)，因為經過一次求導為，再次求導后，即.例
4、:設在上連續(xù)，在內二階可導，且，證明：，使得證明:設輔助函數(shù)則，因為在上連續(xù)，在內可導，且，所以由羅爾中值定理知：必使，而，即.證畢.(8)若題目中出現(xiàn)等式“的關系時，則需構造輔助函數(shù)，因為經過一次求導后為，再次求導后得到例:設在上連續(xù)，在內可導，且，，試證：必使得證明：設，得，顯然在上連續(xù)，在內可導，則，故滿足羅爾中值定理條件，因此必使得，而，即證畢.(9)若題目結論中出現(xiàn)等式“”，的關系時，則可考慮構造輔助函數(shù)例：設在上連續(xù)，在內可導，且證明：使得.證明：作輔助函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內可導，且，故滿足羅爾中值定理條件，因此，必使得，
5、而，由于，故.證畢.(10)若題目出現(xiàn)等式“”的關系時，則需兩次構造輔助函數(shù)，第一次構造，第二次構造.例:設設在上可導，在內二階可導，，，試證：，使得證明：因為，所以與同號，設，即，所以使得，，所以，使得又因為在上可導，故在上連續(xù)，即在上連續(xù),而，所以由介值定理（或零點定理），使得再看，由題目結論，構造輔助函數(shù)因為，所以，故，使得，使得因為，由，可得令，所以有，即，又因為在上連續(xù)可導，所以，使得，即，而，故.證畢.涉及羅爾定理證明中值等式的命題羅爾定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即.那么在區(qū)間內至
6、少有一點，使得在該點的導數(shù)等于零，.題型一：設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且，證明對任何實數(shù)，至少存在一點使成立.分析：首先從結論看起，欲證，即證，即.而要就促使我們想到去構造輔助函數(shù)的思路，即構造的函數(shù)應該滿足在上連續(xù)，在內可導，，，如果這樣的話，但是在點和點處都沒有定義，所以不滿足,從而不是我們所需要的輔助函數(shù)，但是注意到指數(shù)函數(shù)的特點，當對數(shù)運算和指數(shù)運算相互抵消后得到的新函數(shù)的定義域可能會擴大，從而可能成為我們找的輔助函數(shù).若令，則滿足以及羅爾定理的其他條件，所以，由羅爾定理得知：至少使得，而，所以，而，所以只能，即成立，由此就是我
7、們所需構造的輔助函數(shù).注意：在分析題目時，如果我們從不同的角度看它就可能會構造不同的輔助函數(shù)，也就是說，對于解決同一個題目，所構造的輔助函數(shù)可能是不唯一的.例:設為上的連續(xù)奇函數(shù)，且在內可導，又，證明：對任何實數(shù)，都存在使得.證法一:由題型一的結論可作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，又因為在內存在，且，（），所以它滿足羅爾定理條件，故必，使得，即.證畢.證法二:若設，則在上連續(xù)，且在內存在，又因為，，所以它滿足羅爾定理條件，故必，使得.證畢.題型二:證明，使得.分析:仍然從結論入手，把變形，且將變?yōu)?，則有，而有一個原函數(shù)，由題型一，最好將輔助函數(shù)
8、作為.例:取函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且，試證明在內至少存在，使得.分析:由該題型的輔助函數(shù)為可知，待證等式中的，從而得到，將改為即，因此輔助函數(shù).證明:取輔助函數(shù).則在上連續(xù)，在內可導，且，滿足羅爾定理，故
