微分中值定理輔助函數(shù)構(gòu)造.ppt

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1、微分中值定理輔助函數(shù)構(gòu)造一、數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法．主要有以下幾種常用構(gòu)造法：（一）、構(gòu)造數(shù)學(xué)命題法1．構(gòu)造等價(jià)命題如果遇到的數(shù)學(xué)問題直接證明有困難時(shí)，可構(gòu)造其等價(jià)命題，并通過證明其等價(jià)命題成立從而使所論命題獲證．2．構(gòu)造輔助命題在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果缺乏現(xiàn)成的根據(jù)，那么我們不妨構(gòu)造一個(gè)輔助命題作為根據(jù)，只要證明了輔助命題是真命題，原問題就迎刃而解．（二）、構(gòu)造數(shù)學(xué)關(guān)系法由題設(shè)條件及所給

2、的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造一種新的函數(shù)、方程、多項(xiàng)式等具體數(shù)學(xué)關(guān)系，使問題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決的方法稱為構(gòu)造數(shù)學(xué)關(guān)系法．微積分中值定理及其有關(guān)的證明是典型的構(gòu)造函數(shù)的例子。（三）、構(gòu)造幾何圖形法在解題時(shí)若以數(shù)形結(jié)合的思想作指導(dǎo)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問題，通過構(gòu)造圖形啟發(fā)思維，借助于圖形的直觀來解題往往使解題方法簡(jiǎn)捷．幾何證題中的輔助線，代數(shù)方程應(yīng)用題中的示意圖都屬于這一類。（四）、構(gòu)造結(jié)論法構(gòu)造結(jié)論法，就是按照命題的條件和要求構(gòu)造出符合結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而斷定命題正確性的證題方法．有些數(shù)學(xué)命題是斷言存

3、在著具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象，或者是斷言某種數(shù)學(xué)對(duì)象具有某種特定的性質(zhì)，對(duì)于這種類型的數(shù)學(xué)命題，證明的關(guān)鍵往往是構(gòu)造出符合要求的數(shù)學(xué)對(duì)象，用構(gòu)造結(jié)論的辦法對(duì)數(shù)學(xué)命題作出證明，稱為“構(gòu)造性證明”。（五）、構(gòu)造矛盾法所謂構(gòu)造矛盾法，就是首先否定原命題，再利用否定后的命題構(gòu)造出一個(gè)能夠明顯暴露其錯(cuò)誤的對(duì)象，從而導(dǎo)出矛盾，使原命題得證．（六）、構(gòu)造復(fù)數(shù)法由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)、幾何、三角等多種表示形式以及它的特定性質(zhì)和運(yùn)算法則，我們可以構(gòu)造復(fù)數(shù)求解許多代數(shù)、幾何、三角方面的問題。（七）、構(gòu)造反例法為了說明一個(gè)命題不

4、真，常常選擇一個(gè)符合題設(shè)條件但命題不成立的反例．這個(gè)過程叫做構(gòu)造反例．選擇特殊值，極端情形，常常是構(gòu)造反例的關(guān)鍵．二、微分中值定理證明中的輔助函數(shù)利用微分中值定理解題時(shí)，一般要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，它是求解問題的關(guān)鍵。1、原函數(shù)法：將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點(diǎn)：(1)將要證明的結(jié)論中的?換成x；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號(hào)），并取積分常數(shù)為零；(4)移項(xiàng)使等式一邊為零，另一邊即

5、為所求輔助函數(shù)F(x).2、積分法：對(duì)一些不易湊出原函數(shù)的問題，可用積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù)．3、幾何直觀法通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系，從而建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)．4、常數(shù)k值法此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點(diǎn)：11）將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為．22）恒等變形使等式一端為a及f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b及f(b)構(gòu)成的代數(shù)式．33）觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式．若是，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為x，相應(yīng)的函數(shù)值改為f(x)．4）端點(diǎn)換變量x的表達(dá)式即為輔助函數(shù)F(x)

6、．5、分析法分析法又叫倒推法，就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論．6、待定系數(shù)法在用待定系數(shù)法時(shí)，一般選取所證等式中含?的部分為M，再將等式中一個(gè)端點(diǎn)的值b換成變量x，使其成為函數(shù)關(guān)系，等式兩端做差構(gòu)造輔助函數(shù)?(x)，這樣首先可以保證?(b)=0，而由等式關(guān)系?(a)=0自然滿足，從而保證?(x)滿足羅爾定理?xiàng)l件，再應(yīng)用羅爾定理最終得到待定常數(shù)M與f'(?)之間的關(guān)系．總結(jié)證明微分中值定理有關(guān)命題的技巧在于：一是要仔細(xì)觀察，適當(dāng)變換待征式子；二是要仔細(xì)分析，巧妙構(gòu)造輔助函數(shù)．抓

7、住這兩點(diǎn)，即可順利完成證明．