高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)：不等式專題講義

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1、提升數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)資料系列不等式知識(shí)梳理1．不等式的概念與性質(zhì)（要注意不等式性質(zhì)成立的條件）2．基本不等式（1）利用基本不等式證明不等式（2）運(yùn)用基本不等式求值ab?2①“和定積最大”：ab?()；②“積定和最小”：ab??2ab.2運(yùn)用重要不等式最值要注意滿足三個(gè)條件：“正、定、等”.即a、b都是正數(shù)，和或積是定值，a與b能相等.n補(bǔ)充：均值不等式設(shè)a,a,???,a是n個(gè)正實(shí)數(shù)，記H?；G?naa???a，12nnn12n111??????aaa12n222a?a?????aa?a?

2、????a12n12nA?；Q?他們分別稱為n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平nnnn均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)，這四個(gè)平均數(shù)具有如下關(guān)系：H?G?A?Q，上式等號(hào)成立的條件是a?a?????a.nnnn12n3.不等式的證明綜合法、分析法、換元法、三角換元法、構(gòu)造（方程、函數(shù)）法、放縮法、反證法4．不等式的解法①一元一次不等式、一元二次不等式相信同學(xué)們都應(yīng)該能熟練求解了.②對(duì)于分式不等式、對(duì)數(shù)不等式、指數(shù)不等式，我們需進(jìn)行同解變形為熟悉的不等式后再利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)解答.③對(duì)于含參不等式的求解則需進(jìn)行必要的討論.

3、④一元高次不等式用根軸法.⑤解不等式的方法中，尤其需要注意的是換元法、圖象法、根軸法，5.不等式的綜合應(yīng)用（1）應(yīng)用基本不等式求最值（和一定，積最大；積一定，和最小）.（2）“有解”與“恒成立”問(wèn)題.（3）應(yīng)用不等式求值范圍，在與解析幾何的綜合考查中較常見.例題選講京師博雅園xx?y?y例1.若(log)3?(log)3?(log)3?(log)3，則下列關(guān)系成立的是2525A.x?y?0B.www.jsybyxt.comx?y?0C.x?y?0D.x?y?02例2．若關(guān)于x的不等式2?

4、x?a

5、?x至少有一

6、個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.1提升數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)資料系列5例3．在算式4×□＋9×△＝?的□和△中分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)之和的最小值為，6則正整數(shù)?的值為_________.ax???1例4：解關(guān)于x的不等式??10??ax?22221例5：（1）已知a?b?c?1，求證：??ab?bc?ca?1222122（2）已知1?x?y?2，求證：?x?xy?y?322221（3）設(shè)a?b?c?1，a?b?c?1，且a?b?c，求證：??c?03abc（4）已知△ABC的三

7、邊長(zhǎng)是a,b,c，且m為正數(shù)，求證：??a?mb?mc?m例6：證明：1111（1）????????12m?1m?22m1117（2）1????????22223n4111（3）n?1????????2n23n京師博雅園www.jsybyxt.com2提升數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)資料系列22例7：已知兩個(gè)函數(shù)f(x)?8x?16x?kg(x)?2x?5x?4其中k是實(shí)數(shù)。（1）對(duì)任意x?[?]3,3，都有f(x)?g(x)成立，求k的取值范圍（2）存在x?[?]3,3，使f(x)?g(x)成立，求

8、k的取值范圍（3）對(duì)于任意的x,x?[?]3,3，都有f(x)?g(x)成立，求k的取值范圍1212練習(xí)鞏固1.已知正數(shù)a,b,c滿足a?b?c?3，則8a?1?8b?1?8c?1的最大值為A.9B.33C.16D.4322.(a?)3x?4(a?)2x對(duì)a?)1,0(恒成立，則x的取值范圍是____________。11M33．Mn(n=3,4,5,……)為正整數(shù)，若a＞b＞c且對(duì)滿足條件的任意a,b,c都有?+≥0a?bb?cc?a時(shí)，M3的最大值為，若a1＞a2＞a3……＞an(n=3,4,5,……)，

9、且對(duì)滿足條件的任意an都有11Mn?+……+≥0，則Mn的最大值為a?aa?aa?a1223n14.解下列不等式2(x?1)(x?()4x?)32（1）≤0；（2）解關(guān)于x的不等式ax??a???110?x京師博雅園x?12ax?25.已知a＞0，解關(guān)于x的不等式?xwww.jsybyxt.comax?13提升數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)資料系列a?bb?cc?a6．（1）已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lga?lgb?lgc＜lg?lg?lg22233（2）已知a?0，b?0，a?b?2，求證

10、：a?b?2，ab?1121（3）若a>0，求證：a??a??2?22aa22334（4）已知a?0，b?0，a?b，且a?b?a?b，求證：1?a?b?31117.求證：（1）1????????32233nn111（2）1(?1)(1?)(1?)???1(?)?2n?1(n?,3,2,1???)352n?1京師博雅園www.jsybyxt.com4