一階和二階全微分形式在求偏導(dǎo)數(shù)和微分方程變換中的應(yīng)用

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1、一階和二階全微分形式在求偏導(dǎo)數(shù)和微分方程變換中的應(yīng)用西北工業(yè)大學(xué)王紅在,:《高等數(shù)學(xué)》課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中同學(xué)們都有這樣的體會(huì)通常學(xué)習(xí)和掌握課本上的,,基本知識(shí)困難并不大但要靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題就感到困難甚至不知如何著手。因此,對(duì)某一系列問(wèn)題進(jìn)行歸類,剖析,對(duì)某種方法、技巧著意練習(xí),無(wú)疑對(duì),,,。于強(qiáng)化所學(xué)的知識(shí)培養(yǎng)思維能力提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣是十分有益的,,下面介紹一系列一階和二階全微分形式在求偏導(dǎo)數(shù)和微分方程變換中的靈活應(yīng)用從中我們可以明顯體會(huì)到其所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律的韻味。z,,:若

2、以x和y為自變量的函數(shù)一f(xy)可微則其一階全微分式為dz=毛dx+禮dy(l),,“,v,,,,如果xy作為中間變量又是自變量的可微函數(shù)x~x(uv)y一y(uv)則復(fù)合函z,,,v,:數(shù)一f(x(uv)y(u)是可微的其一階全微分式為dz~毛d“+毛dy一zdx+禮dy,。因此一階微分形式(1)具有形式不變性,,:當(dāng)xy二階全微分式為為自變量時(shí)z十z“,xy,儼d護(hù)+2毛dd+禮d少(2),,:而當(dāng)xy作為中間變量時(shí)二階全微分式為z二,r一毛d擴(kuò)+Zzodxdy+禮d少十毛少x+禮少y(3)

3、,。,由此可見(jiàn)二階微分形式一般不具有不變性只有在中間變量x和y的二階微分少x~0ry,,。一。即x和y是自變量的線性函數(shù)時(shí)二階微分式才具有形式不變性“一,。。問(wèn)題1求三元函數(shù)f一合一了十2少+3擴(kuò)的所有二階偏導(dǎo)數(shù),。解這個(gè)三元函數(shù)共有6個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)一個(gè)個(gè)求出來(lái)很麻煩我們用二階微分式可將尸)一P。)尸。去一」f(f(f(尸)一f()一!imlim拱IPPO}I’今0尸,O二,,貝”偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)f(工,,沿方向的方向?qū)?shù)就不等同同樣與函數(shù)f(二,,沿霎一爵一oy方向的方向?qū)?shù)也不等同。,,,,例設(shè)之~

4、f(xy)一丫王萬(wàn)萬(wàn)在(00)點(diǎn)沿任何方向l~{x川的方向?qū)?shù)不萬(wàn),,玉一」phf(念乃y)一f(0o)一m叻乙2丫八+乙少.,,,,,_~_。r0)一00)2了決}f(眾f(}△l貢一即。但儷導(dǎo)效不lm一一和都不存在伙之}}(00)一山~o乙“一竺跳厄丁,。,順便指出方向?qū)?shù)的定義不是唯一的如果我們采取不同的方向?qū)?shù)的定義自然便有與上述不一定相同的結(jié)論。有興趣的讀者,請(qǐng)參看菲赫欽哥爾茲著《微積分學(xué)教程》卷一,。飛74節(jié)第它們一下全部求出。d廠一‘(“一d·‘)一‘一音Zd·2Z·d了一一‘()一

5、一‘d尋告,uz,uz,:由于d~Zxdx+4y勿+6zd少一2少x+4矛y+6少代入上式可得“一。一,1“一。一,矛f一(3xz備一普)dx+(對(duì)備一2扔辦72,“一。一d二,xy。一dxdy+18x二。一dxd二:之。一dyd二+(2備一3號(hào)十12備號(hào)+36號(hào)二.二,二z:一人d護(hù)+幾聲少十人d擴(kuò)十2人dy+2人dxd+2幾dyd二dx。比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可得所求結(jié)果,,,,,,問(wèn)題2已知f(xyz)是一可微函數(shù)并且擴(kuò)一vw少一uw擴(kuò)一uv求證.二+,+之一。。+w+一蔡ax’一蔡妙’一咎擊一蔡玉

6、’一咎面’一孚決刃-、、,xy及z“v和證明通常的辦法是將f對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)用f對(duì)w的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示然后。這里,.我們采用一階微分形式不變性證明。將所得結(jié)果代入方程左邊得到右邊的形式,,,、、z,u、v、。記F~f(xyz)視xy為中間變量w為自變量則按一階微分形式不:變性可得,dF~人dx+fydy+人dz一人du+人dy+幾dw(4)““,yv,,v:zyv,當(dāng)d~d~dw~w時(shí)對(duì)擴(kuò)一w兩邊微分可得xdx~wd十dw一Zvw一2尹所。,,。。以dx一x同理辦一ydz~z將上述結(jié)果代入(4)可得所證結(jié)論

7、,。由上述兩問(wèn)題可見(jiàn)使用微分形式可以使計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化我們?cè)儆么朔椒▉?lái)解決下面幾個(gè)問(wèn)題。.11,,、u,vw一Inz一(xy)“v問(wèn)題3設(shè)一擴(kuò)+獷-—十一+以w為新函數(shù)為新自變,量變換方程灸砒y石一x一、y一工/z.蘇,.,,,。,解記w一v(uv)其中uv為中間變量而xy為自變量由上述方程當(dāng)dx~,,y-一x日寸辦zz二z,zd一毛dx+禮dy~y一x一(y一x)(5),zx:1x,,d,另一方面對(duì)In一w++y兩邊微分可得—aZ~dw+d十勿所以當(dāng)x一y心-,x時(shí)“。dz~z(dw+dx+dy

8、)一z(y一x+wdu十wdy),,d“一ZXd工+Zy一Z一Z一。d?+于是由比于較、xyxy一多委。dz一(y一x)+zwd。(6)fz:。,。(5)與(6)可得W一。即一。為變換后的方程甕讀者不妨用我們這里所介紹的方法來(lái)練習(xí)處理下面問(wèn)題。u,v:練習(xí)1以為新的自變量變換下列方程、玉,、擊弋x十y)二二一又x一y);二一U區(qū)〔《y,,。u一,n1v一arotg其中石干7子_、、_._._.._,22。,.、一_擠擠護(hù)Z一‘~一一一,一~4,。問(wèn)題址明萬(wàn)住尸1十藝不又二十百1~U