從特殊到一般.doc

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1、從特殊到一般------------一個數(shù)學問題的研究(西安美術學院臨潼校區(qū)陜西省小學教師培訓中心王凱成710600)人教版小學數(shù)學課標教材五年級上冊第87頁第7題是：“把一個三角形分成四個面積相等的三角形，可以怎樣分？你能想出幾種方法？”把一個三角形分成四個面積相等的三角形，這涉及到三角形面積的剖分,能找到多少種小學生能理解的剖分方法呢？筆者在文[1]《一個剖分問題的分類研究》中找到了小學生能理解（利用“等底等高的兩個三角形等積”的原理）的106種剖分方法.實際上,還有2種剖分方法,要數(shù)形結合，用解析幾何的方法.

2、一、先找一個實例為了找到一個實例，首先選擇一個特殊的直角三角形，如圖1所示.三角形ABC的A點與坐標原點重合，B點在x軸的正半軸上，C點在y軸的正半軸上.A、B、C的坐標依次是A(0,0)、B(4,0)、C(0,2).則三角形ABC的面積為4.如圖1，設,.這時，只要再滿足.如圖1，由D、F、A三點共線知：由E、F、C三點共線知：由B、D、E三點共線知：由即知：，或(由要么推出為負值，要么推出為負值，所以舍去).由與消去有：由與消去有：再由與消去有：，由知，所以，.變形為：.由與知：與是的根.解知：.(1).當時，

3、即.再由知：.再由知：.所以D、E、F的坐標為、、.如圖1所示.(2).當時，=即.再由知：.再由知：.所以D、E、F的坐標為、、.如圖2所示.一、任意直角三角形把直角頂點A與坐標原點重合即A(0,0)，如圖1，設B、C、D、E、F的坐標為B(4a,0)、C(0,2c)、D(,)、E()、F()，.這時已有，所以只要就可以推出.由D、F、A三點共線知：由E、F、C三點共線知：由B、D、E三點共線知：由知：由與消去有：由與消去有：再由與消去有：變形為：由與知：與是的根.解得：.(1).當即時，即.再由知：.再由知：.

4、所以D、E、F的坐標為、、.如圖1所示.(2).當即時，即.再由知：.再由知：.所以D、E、F的坐標為、、.如圖2所示.一、任意三角形對于三角形ABC，不妨設，把A與坐標原點重合即A(0,0)，如圖3，設、、、、，=.這時已有，所以只要就可以推出.由D、F、A三點共線知：由E、F、C三點共線知：由B、D、E三點共線知：由知：由知:由與消去有：由與消去有：再由與消去有：由與(*)消去有:,即為由與知：與是的根.解方程得:.(1).當即時,即.再由知:.再由知：.再由知:.所以D、E、F的坐標為、、.如圖3所示.(2)

5、.當即時，即.再由知:.再由知：.再由知:.所以D、E、F的坐標為.如圖4所示.由以上結論可知：當三角形ABC的坐標是A(0,0)、B(,0)、C(b,c)時，、b、c皆正，若取,或取，都有：.所以，把一個三角形分成四個面積相等的三角形，一共有108種剖分方法.參考文獻1.王凱成,一個剖分問題的分類研究,中學數(shù)學教學參考初中版,2011年第7期.