部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中MLE的相合性.pdf

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1、部分區(qū)問刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中MLE的相合性蔡定教，易景平。(1．北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100875；2．安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽455000)[摘要]部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)包括精確數(shù)據(jù)以及區(qū)間刪失數(shù)據(jù)，在慢性病研究中有廣泛的應(yīng)用．本文主要考慮在具有1類部分刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中最大似然估計(jì)的相合性，在一定的正則條件下證明了最大似然估計(jì)的強(qiáng)相合性．[關(guān)鍵詞]區(qū)間刪失；相合性；最大似然估計(jì)；緊集；生存函數(shù)[中圖分類號]O213．9[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]1671—5330(2015)02

2、—0006—02部分區(qū)問刪失數(shù)據(jù)在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)密度函數(shù)為X)：Aexp{一A}，>0．用．如在慢性病的研究中，有些病人開始患病的現(xiàn)假定我們有1類部分刪失數(shù)據(jù)．假設(shè)n，n年齡是已知的；而另一些人只知道現(xiàn)在已患病，因分別為精確值和刪失數(shù)據(jù)的個數(shù)，并令=凡+而只知道患病時刻在當(dāng)前時刻之前；還有一類未n．部分刪失數(shù)據(jù)的觀測值為{，{6，患病的可疑個體，則只知患病時刻在當(dāng)前時刻之．在給定模型下似然函數(shù)為：-后．更一般的情形發(fā)生在跟蹤研究中，如亞類心nIrt2(A)=IIAexp{一ATi}lⅡA(ex

3、p{-A})吩(1絞病和冠心病的研究中．對于一類病人，心絞?。蚬谛牟〉陌l(fā)病時刻是清楚的，但是對另一些病一exp{一A})‘一0’．人則只在某兩個時刻進(jìn)行臨床檢測．此外在丹麥對數(shù)似然函數(shù)為：nln2的糖尿病研究中的數(shù)據(jù)也是既有精確值也包含區(qū)f(A)=／21ln(A)一A∑+∑[(一A)間刪失數(shù)據(jù)．我們知道在僅有精確值的情形，指數(shù)模型中+(1—6)In(1一exp{一A})]．未知參數(shù)的最大似然估計(jì)具有強(qiáng)相合性．本文中最大似然估計(jì)定義為上述似然函數(shù)在以上我們考慮在具有1類部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)情形下最的最大

4、值點(diǎn)．現(xiàn)作如下基本假設(shè)：大似然估計(jì)的強(qiáng)相合性．1類部分刪失數(shù)據(jù)具體假設(shè)1真值A(chǔ)為的內(nèi)點(diǎn)且以為緊集．描述如下：對于一些研究對象，我們能觀察到它們假設(shè)20

5、1；否則6：0．Ef()≥Ex)．1生存分析模型當(dāng)．廠為嚴(yán)凸時，上式中等號當(dāng)且僅當(dāng)P(X=EX)設(shè)生存分析模型服從參數(shù)為A的指數(shù)分布．=1時才成立．則生存函數(shù)為s()=exp{_A}，>0，相應(yīng)的Hoefding不等式：設(shè)一，是個獨(dú)立隨機(jī)[收稿日期]2015—02—02[作者簡介]蔡定教(1979一)，男，浙江溫州人，北京師范大學(xué)博士生，講師，主要從事生物統(tǒng)計(jì)的研究。第2期蔡定教，易景平：部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中MLE的相合性7變量且P(X∈[a，b])=1，1≤i≤n，S=X+再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的

6、凹性得?+，則對任意t≥0，有／2￡、log[·+{一?！?3)P(Sn-E[Sn]【一對A。的任一開領(lǐng)域Ⅳ0，Ⅳ0在以中的余集為3相合性一緊集．因而這一余集的任意開覆蓋{，A隹定義I：對指數(shù)型分布族，最大似然估計(jì)MLENo}有有限的子覆蓋{--，NA}．若隹No，則存在1≤Jj}≤m使得∈，從而有(；)的定義如下：MLE：J似然方程的唯一解，若解存在≥()，對任意成立．利用(3)得【任意定義，若解不存在引理1設(shè)總體的分布為自然指數(shù)型族豆log[{X，0)=C(0)exp(OT())，，?，為抽。自

7、該總體的樣本，則以概率1當(dāng)n充分大時，似然】．方程nc(o)／c(e)+∑T(X)=o有唯一解，且右邊和事件中每一項(xiàng)的概率為一致有界獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值非負(fù)的概率．而由(2)知這些隨機(jī)該解為0的強(qiáng)相合估計(jì)。變量具有負(fù)的期望．利用Hoeffding不等式，每一定理1在上述假設(shè)下我們有一A。a．項(xiàng)的概率具有階e，這里取為2／(M—log(1證明：假設(shè)天為基于精確值{的最大似一))，其中M=max(叼1≤K≤m)，P為某然估計(jì)，則一Aa．令戈=(，U)，且一負(fù)數(shù)且(2)中的期望凡>N在時小于P．進(jìn)一()=

8、p(x；)，()=p(x；)，步有這里P(；A)=(exp{一A})(1一exp{一A})“．令E為真實(shí)參數(shù)為A。時的期望，則對(Ⅳ0)<∞·任意A≠Ao，0<<1，由Jessen不等式得利用Borel—Cantelli引理及假設(shè)2知以概率1Elog1+{一·o．∈No，當(dāng)n—}。。時．由Ⅳn的任意性即得證．由P(；A)關(guān)于A的可識別性知不等號嚴(yán)格成立，即[參考文獻(xiàn)]Elog1+{老姑一)】<0·(1)[1]JongS．Kim．MaximumLikelihoodest