平穩(wěn)時(shí)間序列的ARMA模型.doc

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1、第五講（續(xù)）平穩(wěn)時(shí)間序列的ARMA模型621平穩(wěn)性有一類描述時(shí)間序列的重要隨機(jī)模型受到了人們的廣泛關(guān)注，這就是所謂的平穩(wěn)模型。這類模型假設(shè)隨機(jī)過程在一個(gè)不變的均值附近保持平衡。其統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推移發(fā)生變化。平穩(wěn)的定義分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。定義1（嚴(yán)平穩(wěn)）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)過程,是在不同的時(shí)刻的隨機(jī)變量，在不同的時(shí)刻是不同的隨機(jī)變量，任取個(gè)值62和任意的實(shí)數(shù)，則分布函數(shù)滿足關(guān)系式則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。在實(shí)際中，這幾乎是不可能的。由此考慮到是否可以把條件放寬，僅僅要求其數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差)相等。定義2（寬平穩(wěn)）若隨機(jī)變量的均值（一階矩）和協(xié)方差（二階矩）存在，且

2、滿足：62（1）任取，有；（2）任取，，有協(xié)方差是時(shí)間間隔的函數(shù)。則稱為寬平穩(wěn)過程，其中為協(xié)方差函數(shù)。2各種隨機(jī)時(shí)間序列的表現(xiàn)形式62白噪聲過程（whitenoise，如圖1）。屬于平穩(wěn)過程。yt=ut,ut~IID(0,s2)圖1白噪聲序列（s2=1）62隨機(jī)游走過程（randomwalk，如圖11）。屬于非平穩(wěn)過程。yt=yt-1+ut,ut~IID(0,s2)62圖2隨機(jī)游走序列（s2=1）62圖3日元兌美元差分序列62圖4深圳股票綜合指數(shù)62圖5隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m=0.1）圖6隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m=-0.1）62圖7對(duì)數(shù)的中國國民收入序列62圖8中

3、國人口序列623延遲算子延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去撥了一個(gè)時(shí)刻，記B為延遲算子，有。特別是差分算子。4．ARMA(p,q)模型及其平穩(wěn)性和可逆性4.1模型類型及其表示在平穩(wěn)時(shí)間序列的分析中，應(yīng)用最廣泛的是有限參數(shù)模型。62p階自回歸模型：用自己的過去和現(xiàn)在的隨機(jī)干擾表。是白噪聲。q階移動(dòng)平均模型：用現(xiàn)在和過去的隨機(jī)干擾表。p階自回歸和q階移動(dòng)平均模型：自己的過去及過去和現(xiàn)在的隨機(jī)干擾表。其中是白噪聲序列。624.2平穩(wěn)性是平穩(wěn)時(shí)間序列的反映嗎？如果它是平穩(wěn)時(shí)間序列的模型，回歸系數(shù)應(yīng)該滿足何種條件呢？例

4、設(shè)是一階自回歸模型，即或，其中則（利用等比級(jí)數(shù)的通項(xiàng)和公式）62==如果，，的系數(shù)隨著的增加而趨于無窮大，這顯然違背了“遠(yuǎn)小近大”的原則，由此可見，平穩(wěn)的充分必要條件是，的充分必要條件方程的根在單位圓外。設(shè)是一個(gè)p階自回歸模型62或其中：。平穩(wěn)的充分必要條件是：的根在單位圓外；的根在單位圓內(nèi)證明請(qǐng)參看附錄1。。4.3可逆性62我們可以考慮到一個(gè)時(shí)間序列是否可以用它的現(xiàn)在值和過去值來表示現(xiàn)在時(shí)刻的隨機(jī)干擾呢？即這種表達(dá)式稱為“逆轉(zhuǎn)形式”。如果一個(gè)時(shí)間序列具有逆轉(zhuǎn)形式，也就是說逆轉(zhuǎn)形式存在且平穩(wěn)，通常稱該過程具有可逆性。例設(shè)是一階滑動(dòng)平均模型，即或，其中62則（利用

5、等比級(jí)數(shù)的通項(xiàng)和公式）==對(duì)于一階滑動(dòng)平均模型，無論取何值，是一個(gè)名副其實(shí)的平穩(wěn)序列，但是對(duì)于的“逆轉(zhuǎn)形式”是否存在，則取決于是否小于1。如果，62的系數(shù)隨著的增加而趨于無窮大，這顯然違背了“遠(yuǎn)小近大”的原則，由此可見，的逆轉(zhuǎn)形式存在的充分必要條件為，的充分必要條件方程的根在單位圓外?？赡娴某浞直匾獥l件為，方程62的根在單位圓外。的根在單位圓內(nèi)證明參看附錄2。。由于自回歸模型稍微變形，就是用系統(tǒng)的現(xiàn)在和過去值表示隨機(jī)干擾項(xiàng)，所以自回歸模型自然可逆。4.4ARMA（p，q）的平穩(wěn)性和可逆性設(shè)時(shí)間序列是ARMA（p,q）模型62令則模型記為如果1.，；2.和無公共因

6、子；3.和的根在單位圓外。62則是自回歸移動(dòng)平均模型，平穩(wěn)且可逆。它有傳遞形式，由此可以認(rèn)為，任何一個(gè)自回歸滑動(dòng)平均模型都可以用一個(gè)足夠高階的滑動(dòng)平均模型逼近。逆轉(zhuǎn)形式，可見任何一個(gè)自回歸滑動(dòng)平均模型都可以用一個(gè)足夠高階的自回歸模型逼近。5平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征5.1總體的自相關(guān)函數(shù)和樣本的自相關(guān)函數(shù)62（看參考教材王燕，應(yīng)用時(shí)間序列分析，中國人大出版社，2005）一、AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)AR(p)模型，自相關(guān)函數(shù)快速收斂于零，但不等于零,“拖尾”。又因?yàn)锳RMA（p，q）模型的可逆性，即，所以任何一個(gè)ARMA（p，q）模型都可以表示為一個(gè)足夠高階的AR（

7、p）模型，所以ARMA（p，q）模型與AR（p）模型有相同的統(tǒng)計(jì)特性。下面從可以從圖18到圖25觀察時(shí)間序列圖與其自相關(guān)函數(shù)圖的特點(diǎn)。62圖9白噪聲序列的自相關(guān)函數(shù)62圖10白噪聲序列的自相關(guān)函數(shù)圖62圖11人工模擬序列圖62圖12人工模擬序列的自相關(guān)函數(shù)圖62圖13模擬隨機(jī)游走序列圖62圖14模擬隨機(jī)游走序列的自相關(guān)關(guān)函數(shù)圖62二、MA（q）的自相關(guān)函數(shù)結(jié)論：MA（q）模型的自相關(guān)函數(shù)q階截尾，即在q+1及以后為零。圖2-7是模擬一階移動(dòng)平均模型趨勢(shì)圖，圖2-8是自相關(guān)函數(shù)圖62圖15趨勢(shì)圖62圖16自相關(guān)函數(shù)圖62由此，我們已經(jīng)有了識(shí)別MA（q）模型的工具，

8、自相關(guān)函數(shù)q階截尾。但是