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1、復(fù)習(xí)課常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章緒論第二章一階微分方程的初等積分法第三章一階微分方程的解的存在定理第四章高階微分方程第五章線性微分方程組第六章定性理論初步第七章一階線性偏微分方程第一章緒論?微分方程概述/SketchofODE/?基本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程2.一階與高階微分方程3.線性和非線性微分方程4.解和隱式解5.通解和特解6.積分曲線和積分曲線族7.微分方程的幾何解釋-----方向場定義：一個(gè)或幾個(gè)包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導(dǎo)數(shù)（或微商）的關(guān)系式，稱之為
2、微分方程。常微分方程/ODE/在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。偏微分方程/PDE/自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程。微分方程的階/Order/在一個(gè)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。當(dāng)n=1時(shí)，稱為一階微分方程；當(dāng)n>1時(shí)，稱為高階微分方程。的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則稱它為線性微分方程，否則，稱它為非線性微分方程。如果方程若方程的解是某關(guān)系式的隱函數(shù)，稱這個(gè)關(guān)系式為該方程的隱式解。把方程解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。常微分方程的解的表達(dá)式中，可能包含一個(gè)或者幾意常數(shù)，若其
3、所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱這樣的解為該微分方程的通解。常微分方程滿足某個(gè)初始條件的解稱為微分方程的特解。初值條件/InitialValueConditions/對于n階方程初值條件可表示為n階方程初值問題（CauchyProblem）的表示一階和二階方程初值問題（CauchyProblem）的表示積分曲線和積分曲線族/IntegralCurve(s)/一階微分方程的解平面的一條曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲線，稱它們?yōu)槲⒎址匠痰姆e分曲線族。練習(xí)題編號微分方程自變量未知函數(shù)?；蚱A數(shù)是否線
4、性1234練習(xí)題編號函數(shù)微分方程初始條件1234§2.1變量分離方程與變量變換§2.2線性微分方程與常數(shù)變易法§2.3恰當(dāng)微分方程與積分因子§2.4一階隱式微分方程與參數(shù)表示第二章一階微分方程的初等解法變量分離方程的求解1、形式:2、求解方法：分離變量、兩邊積分、考慮特殊情況3、方程的解為：可化為變量分離方程類型的求解I.齊次微分方程1、形式：2、求解方法：作變量代換化其為變量分離方程、方程求解、變量還原II.形如的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論為齊次方程,由I可化為變量分離方程.的情形且C1、C2不同時(shí)為零的情形§2.2線性微分方程與常數(shù)
5、變易法形如伯努利方程：解法:的方程，關(guān)于z,x的線性微分方程稱微分方程是恰當(dāng)方程.1.定義恰當(dāng)方程2.(1)是恰當(dāng)方程的充要條件3、恰當(dāng)方程的求解1).不定積分法（？）2.分組湊微法采用“分項(xiàng)組合”的方法,把微分方程中本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來,再把余項(xiàng)湊成全微分.---應(yīng)熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分.如非恰當(dāng)方程如何求解?對一些非恰當(dāng)方程,方程兩邊乘上一個(gè)因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.I.積分因子的定義II.積分因子的確定積分因子積分因子的確定微分方程這里這里一階隱式方程求解—采用引進(jìn)參數(shù)的辦法使其變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的方程類型.主要研究以下四種類型第三章 一階微分方程
6、的解的存在定理利普希茨（Lipschitz）條件皮卡逐步逼近函數(shù)序列第四章高階微分方程一、兩類二階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法—降階法逐次積分求解2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法歐拉方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
