差分方程方法.ppt

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1、數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用韓中庚編著主要內(nèi)容第四章差分方程方法22021年8月23日常系數(shù)線性差分方程；差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性；連續(xù)模型的差分方法；案例分析一.常系數(shù)線性差分方程1.常系數(shù)線性齊次差分方程42021年8月23日(1)特征根為單根1.常系數(shù)線性齊次差分方程52021年8月23日(2)特征根為重根1.常系數(shù)線性齊次差分方程62021年8月23日(3)特征根為復(fù)根1.常系數(shù)線性齊次差分方程72021年8月23日2.常系數(shù)線性非齊次差分方程一.常系數(shù)線性差分方程82021年8月23日2.常系

2、數(shù)線性非齊次差分方程一.常系數(shù)線性差分方程92021年8月23日二差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性1.一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)102021年8月23日二差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性2.一階線性常系數(shù)差分方程組的平衡點(diǎn)112021年8月23日二差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性3.二階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)二差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性4.一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)2021年8月23日132021年8月23日三連續(xù)模型的差分方法1.微分的差分方法142021年8月23日三連續(xù)模型的差分方法2.定積分的差分方

3、法152021年8月23日三連續(xù)模型的差分方法2.定積分的差分方法(1)復(fù)化的梯形公式：162021年8月23日三連續(xù)模型的差分方法2.定積分的差分方法類似地：復(fù)化辛甫生（Simpson）公式;復(fù)化柯特斯（Cotes）公式等。（詳見教材）（2）復(fù)化梯形公式：四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問(wèn)題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律.數(shù)量與價(jià)格在振蕩gx0y0P0fxy0xk~

4、第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0供應(yīng)函數(shù)四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xy0y0x0P0fg??曲線斜率?蛛網(wǎng)模型四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定

5、方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型?~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度?~價(jià)格上漲1單位，(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察?,?的含義?~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度?~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度?小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定?小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使?盡量小，如?=0以行政手段控制價(jià)格不變2.使?盡量小，如?=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋

6、需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量.生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k??,xk?x0的條件四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型方程通解(c1,c2由初始條件確定)?1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k??,xk?x0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來(lái)的條件放寬了模型的推廣四、案例:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型背景多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.通過(guò)控制

7、飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).分析體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.飲食（吸收熱量）引起體重增加.代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少.體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖.四、案例:減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1公斤；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當(dāng)于70公斤的人每天消耗

8、2000千卡~3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5公斤，每周吸收熱量不要小于10000千卡.四、案例:減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75公斤.第一階段：每周減肥1公斤，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃.1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)