拋物型方程的差分方法ppt課件.ppt

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1、非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法第二章拋物型方程的差分方法2.1定解問(wèn)題的離散2.1定解問(wèn)題的離散一維熱傳導(dǎo)方程為：或?qū)@樣一個(gè)問(wèn)題的求解，分為以下三個(gè)步驟來(lái)離散。（1）在x-t平面上，取和分別為函數(shù)的自變量x和t的改變量，由（j=0,1,…N,h=,n=0,1,…M,）兩組平行線構(gòu)成的矩形網(wǎng)格覆蓋x-t平面。h為空間步長(zhǎng)，為時(shí)間步長(zhǎng)。txnj（j-1,n）（j,n）（j+1,n）（j,n+1）（j,n-1）2.1.1定解區(qū)域的離散X方向節(jié)點(diǎn)編號(hào)T方向節(jié)點(diǎn)編號(hào)定義：網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值：半網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值：網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值簡(jiǎn)記為u(j,n)。在有限差分離散化時(shí)應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題求解的

2、需要，在x，t方向上離散網(wǎng)格時(shí)和可以是等分，也可以是不等分，既可以按一定規(guī)律來(lái)離散，也可以對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行局部加密。！?。?！對(duì)于雙曲型和拋物型等發(fā)展方程在有限差分離散化時(shí)，網(wǎng)格的和不能隨意選取，需要滿足一定的條件，如穩(wěn)定性的CFL條件等。?。。?！為了保證邊界上的計(jì)算精度，在網(wǎng)格邊界外可設(shè)置若干虛擬網(wǎng)絡(luò)，以保證差分格式在邊界處的計(jì)算精度和內(nèi)點(diǎn)精度保持一致。！?。?！有限差分離散網(wǎng)格一般選取四邊形網(wǎng)格，對(duì)于復(fù)雜物體外形問(wèn)題，也可以選擇三角形網(wǎng)格或其他形狀網(wǎng)格。近年來(lái)，發(fā)展了一種無(wú)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和無(wú)網(wǎng)格的有限差分算法，它們的計(jì)算網(wǎng)格就更為復(fù)雜。對(duì)于復(fù)雜外形飛行器流場(chǎng)的計(jì)算，一般需要通過(guò)坐標(biāo)變換

3、，可以把物理平面上的復(fù)雜的、非正交的網(wǎng)格轉(zhuǎn)換成在計(jì)算平面上的簡(jiǎn)單、而正交的網(wǎng)格，這就是網(wǎng)格生成技術(shù)。特別要指出的是，網(wǎng)格生成技術(shù)在網(wǎng)格設(shè)計(jì)和編程中往往占有很大的工作量，網(wǎng)格生成技術(shù)好壞直接影響到數(shù)值計(jì)算結(jié)果的精度，網(wǎng)格生成技術(shù)已成為計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要分支。節(jié)點(diǎn)(j,n+1)的函數(shù)值在(j,n)點(diǎn)作泰勒展開(kāi)：2.1.2控制方程的離散（2）（3）同理，對(duì)于節(jié)點(diǎn)(j,n-1)有：由（2）得：其中表示一次和一次以上的小量項(xiàng)．（4）（5）（6）（4）－（5）得：由（3）得：（7）同理：下面引入幾個(gè)概念：（1）向前差分（forwarddifference）（2）向后差分(back

4、warddifference)(forwardspacedifference)(forwardtimedifference)(backwardspacedifference)(backwardtimedifference)（3）一階中心差分（centraldifference）（４）二階中心差分（centraldifference）1）格式I顯示格式(FTCS格式)由（4）、（7）代入（1），有式中：稱為截?cái)嗾`差（Truncationerror），它不僅反映了差分算子對(duì)微分算子的逼近，也反映了差分解和方程解的誤差。截?cái)嗾`差的階數(shù)：就是截?cái)嗾`差中最低階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中或h的冪次數(shù)。（

5、此截?cái)嗾`差，時(shí)間1階，空間2階）?。。。。?）用表示u(j,n）的近似值；用差商近似代替式（1）中的微商后，可得相應(yīng)的差分方程（通過(guò)泰勒展開(kāi)法最后推出的）(9)記號(hào)：表示微分方程的解在結(jié)點(diǎn)處的準(zhǔn)確值；表示差分方程的解，它是的近似值；表示微分方程左端項(xiàng)在結(jié)點(diǎn)處的準(zhǔn)確值；表示用準(zhǔn)確值構(gòu)造差商；表示用近似值構(gòu)造差商；表示差商近似微商所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。注意：由（10）可知，當(dāng)?shù)趎層u已知時(shí)，可以直接求出第n+1層上的值，故稱之為顯式格式。n+1nj-1j+1j（10）令　　　　，則(9)式可化為：差分格式2）格式Ⅱ（BTCS）隱式格式對(duì)時(shí)間向后差分，對(duì)空間用中心差分，得：注意：由（

6、12）式不能直接計(jì)算出解，而要聯(lián)立求解代數(shù)方程，故稱之為隱式格式。nn-1j-1j+1j（１２）3）格式ⅢCrank—NicoLson格式（CTCS）對(duì)時(shí)間和空間都用中心差分，在點(diǎn)對(duì)u作泰勒展開(kāi)，得：(13)(14)下面來(lái)求。在對(duì)點(diǎn)作泰勒展開(kāi)：上兩式相加，(15)(16)(17)(18)而：（19）（20）由（15）式和（18）式得（21）或：（22）n+1nj-1j+1j注意：泰勒展開(kāi)點(diǎn)在格邊上，不是在結(jié)點(diǎn)上，但在格式中未出現(xiàn)格邊量?！A精度。在點(diǎn)展開(kāi)時(shí)，用到了周?chē)?個(gè)結(jié)點(diǎn)上的量，該格式又稱為六點(diǎn)格式。隱式格式。idea：是將微分方程中的項(xiàng)以在第n層和第n+1層上關(guān)

7、于x的二階中心差商的算術(shù)平均值來(lái)逼近，這一思想已被廣泛地應(yīng)用于一般微分方程，以建立其差分格式。注意：——全二階精度格式。三層顯示格式。n+1nj-1j+1jn-14）格式（IV）（CTCS）（Richardson格式）對(duì)時(shí)間中心差分步長(zhǎng)放大一倍，空間也中心差分。(23)(24)1）推廣Crank—Nicolson（格式III）格式III將差分格式建立在和的中點(diǎn)基礎(chǔ)上的?，F(xiàn)進(jìn)一步推廣，將差分格式建立在和中間任意一點(diǎn)上，即，其中是一參數(shù)。按照格式III同樣的方法進(jìn)行差分。上兩式相減得同樣，也可對(duì)作類(lèi)似格式III的處理。