雙曲型方程的差分方法（II）ppt課件.ppt

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1、（二）一階線性常系數(shù)方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實(shí)的，并存在非奇異矩陣S使得對(duì)稱雙曲型方程組：A對(duì)稱嚴(yán)格雙曲型方程組：A的特征值是實(shí)的并且互不相同是A的特征值2討論對(duì)象:一階常系數(shù)線性雙曲型方程組有兩個(gè)相異的特征根取A的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量作為S的列向量雙曲型微分方程組.非耦合系統(tǒng)3例如耦合系統(tǒng)非耦合系統(tǒng)即取1.Lax-Friedrichs格式為P階單位矩陣是A的特征值為格式穩(wěn)定必要條件滿足VonNeumann條件即時(shí)證明：由于為L(zhǎng)ax-Friedrichs格式穩(wěn)定充分條件P33定理3.5為對(duì)角

2、陣為穩(wěn)定充要條件8證明：2.Lax-Wendroff格式9建立差分格式—LW格式用中心差商代替偏導(dǎo)數(shù)舍去截?cái)嗾`差,有LW差分格式.證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。3.迎風(fēng)格式VonNeumann條件滿足為對(duì)角陣正規(guī)陣見(jiàn)Page32（三）變系數(shù)方程及方程組1.變系數(shù)方程凍結(jié)系數(shù)法：簡(jiǎn)單實(shí)用非嚴(yán)格穩(wěn)定性討論用能量不等式方法：嚴(yán)格有技巧a(x,t)>0見(jiàn)上圖a(x,t)<0見(jiàn)下圖整理得:穩(wěn)定性條件為:解凍系數(shù),穩(wěn)定性條件為:下面對(duì)L-F格式用能量分析法討論穩(wěn)定性；附加：能量分析法討論穩(wěn)定性(嚴(yán)格

3、)穩(wěn)定性條件為:Taylor展開(kāi)：代入Taylor展開(kāi)式,于是有得到：略去高階項(xiàng)得到差分方程：Lax-Wendroff格式2.變系數(shù)方程組(自學(xué))28（四）二階雙曲型方程1.波動(dòng)方程的初值問(wèn)題c為常數(shù)D’Alembert公式波動(dòng)方程化為一階雙曲型方程組初始條件2.波動(dòng)方程的顯格式不匹配為匹配精度，采用虛擬節(jié)點(diǎn)等價(jià)的一階方程組穩(wěn)定性34是否為穩(wěn)定充分條件？則VonNeumann條件滿足，為穩(wěn)定必要條件（否）見(jiàn)P6336373.波動(dòng)方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點(diǎn)的依賴區(qū)域。DE為微分方程解

4、在P點(diǎn)的依賴區(qū)域。DA，BE處初值的變化無(wú)法影響差分格式的解，因此差分格式的解不會(huì)收斂到微分方程的解。微分方程依賴區(qū)域:特征線依賴區(qū)間在t=0所截區(qū)間依賴區(qū)間按前面兩種邊界離散方式，第n層差分格式的解依賴初始函數(shù)f(x),g(x)在點(diǎn)集上的值依賴區(qū)域?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的兩條直線與x軸相交而得其中差分方程依賴區(qū)域:時(shí)不穩(wěn)定(Page63)4.波動(dòng)方程的等價(jià)方程組的差分格式一階雙曲型方程的各種格式均可使用，如課堂練習(xí)P817.試構(gòu)造求解方程組的迎風(fēng)格式.(Page71)