資源描述：
《雙曲型方程的差分方法ppt課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、2.3雙曲型方程的差分方法計(jì)算力學(xué)基礎(chǔ)第二章有限差分方法2.3.1一階線(xiàn)性常系數(shù)雙曲型方程它的解為：推導(dǎo)：令：1）迎風(fēng)格式（upwindscheme）迎風(fēng)格式就是將解沿特征線(xiàn)傳播看成是“風(fēng)”，當(dāng)風(fēng)從右邊(a<0)吹來(lái)，迎風(fēng)作向前差商；當(dāng)風(fēng)從左邊吹來(lái)(a>0)，迎風(fēng)作向后差商，這樣構(gòu)造得差風(fēng)格式是穩(wěn)定的。從生活常識(shí)上來(lái)說(shuō)，當(dāng)你突然聞到飄來(lái)的花香，你自然會(huì)迎風(fēng)去搜尋，從數(shù)學(xué)上講，這就是符合特征線(xiàn)的走向差分離散處理。該格式是絕對(duì)不穩(wěn)定的差分格式。1954年，Lax和Friedrichs為克服上述格式的不穩(wěn)定性，提出了如
2、下的差分格式：2）Lax-Friedrichs格式該格式稱(chēng)為L(zhǎng)ax-Friedrichs格式，也稱(chēng)為L(zhǎng)ax格式。討論：1)穩(wěn)定性條件為；2)截?cái)嗾`差為，一般取所以該格式為一階精度。3)該格式可以不考慮對(duì)應(yīng)的微分方程的特征線(xiàn)的走向，而迎風(fēng)格式需考慮特征線(xiàn)的走向。為此，我們也可以把迎風(fēng)格式寫(xiě)成統(tǒng)一的形式：上兩式是左邊相同，他們都以趨近于對(duì)流方程。因此這兩種格式的截?cái)嗾`差取決于兩式的右端項(xiàng)的大小。由穩(wěn)定性限制要求有，如果，上兩式相等。但在實(shí)際中總是取，因此Lax-Friedrichs格式的截?cái)嗾`差（Trunctione
3、rror）TE比迎風(fēng)格式TE大。而Lax-Friedrichs可寫(xiě)為：實(shí)際上，這兩種格式還是有很大的區(qū)別，現(xiàn)僅從截?cái)嗾`差來(lái)考慮，現(xiàn)假設(shè)a>0，此時(shí)迎風(fēng)格式可寫(xiě)為：由：可得：把上兩式代入（B）式，得(C)（B）3）Lax-wendroff格式迎風(fēng)格式和Lax格式是一階精度的差分格式，1960年Lax和Wendroff構(gòu)造出一個(gè)二階精度的格式。而：把此兩式代入(C)式，得：略去高階項(xiàng)，可以得到如下的差分格式：（D）差分格式（D）稱(chēng)為L(zhǎng)ax-wendroff格式。討論：1該格式的穩(wěn)定性條件為2二階精度顯示格式。我們也可
4、以建兩步Lax-wendroff格式，對(duì)（D）式進(jìn)行改造：這樣，上式就可寫(xiě)為：（E）差分格式（E）稱(chēng)為兩步Lax-wendroff顯示格式。由（C）式有：而：4）MacCormack二步二階精度的顯示格式把 和 代入（C）式，得：（F）略去高階小量，可得如下的差分格式：（G）若引入：則有：將向前、向后差商代入上兩式，得：或者：5）蛙跳格式利用雙曲型方程的解在特征線(xiàn)為常數(shù)這一事實(shí)也可以構(gòu)造出以上差分格式。為確定起見(jiàn)，不妨設(shè)a>0。設(shè)在時(shí)間層上網(wǎng)格點(diǎn)和上的值給定?，F(xiàn)計(jì)算時(shí)間層上的網(wǎng)格點(diǎn)點(diǎn)的值。假定條件成立，過(guò)點(diǎn)特征
5、線(xiàn)與交于，由解的性質(zhì)可知，，當(dāng)不是網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，是未知的，但可以用插值方法給出近似值。6）利用特征線(xiàn)構(gòu)造差分格式兩點(diǎn)線(xiàn)性插值：三點(diǎn)拋物線(xiàn)插值：(1)利用兩點(diǎn)線(xiàn)性插值由此可推導(dǎo)出差分格式：迎風(fēng)格式(2)利用兩點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性插值由此得到：改寫(xiě)為：Lax-Friedrichs格式(3)如果使用和三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行拋物插值，則得到由此可得差分格式：Lax-wendroff格式(4)如果用三點(diǎn)進(jìn)行拋物插值此格式為二階精度，該格式由R.M.Beam和R.F.Warming于1976年引入，一般稱(chēng)為Beam-Warming格式。這是二階迎風(fēng)格
6、式。對(duì)Beam-Warming格式，當(dāng)時(shí)，格式變?yōu)榉€(wěn)定性條件為，對(duì)于固定空間步長(zhǎng)，時(shí)間步長(zhǎng)限制較寬，這有利于實(shí)際計(jì)算。例子考慮初值問(wèn)題：其中：取，，用Lax-Friedrichs格式，迎風(fēng)格式，Lax-wendroff格式以及Beam-Warming格式，計(jì)算到計(jì)算結(jié)果與處置問(wèn)題的解析解。解：從圖中可以看得出以下結(jié)論：1）對(duì)于Lax和迎風(fēng)格式，把解抹平了。這是數(shù)值耗散的結(jié)果。2）對(duì)于Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式，解出現(xiàn)了振蕩。模型方程的典型差分格式：格式名稱(chēng)格式表達(dá)式穩(wěn)定性條件迎風(fēng)格
7、式Lax格式Lax-wendroff格式Leap-Frog格式兩步Lax-Wendroff格式MacCormack格式Beam-Warming格式
