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1、第五章雙曲型方程的差分方程第一節(jié)一階線性常系數雙曲型方程采用對流方程開始研究雙曲型方程的數值解法的原因：第一、對流方程非常簡單，對它的研究是探討更復雜的雙曲型方程（組）的基礎。第二、盡管對流方程簡單，但是通過它可以看到雙曲方程在數值計算中特有的性質和現(xiàn)象。第三，利用它的特殊的、復雜的初值給定，完全可以用來檢驗數值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推廣到變系數雙曲方程（組）以及非線性雙曲方程領域。幾種典型的差分格式迎風格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式Courant-Friedrichs-Lewy條件利用特征線構造差分格
2、式隱式格式蛙跳格式迎風格式的思想:在對微商進行近似的時候,關于空間導數用在特征線方向一側的單邊差商來代替，于是有如下格式：1、迎風格式迎風格式的性質：1、滿足相容性，一階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：所以此格式絕對不穩(wěn)定.2、Lax-Friedrichs格式Lax-Friedrichs格式的性質：1、滿足相容性，一階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：兩種格式的比較:1、它們的精度都是一階的精度,在實際應用中,L-F格式可以不考慮對應方程的特征線的走向,而迎風格式卻要考
3、慮其走向.注、如果迎風格式寫成統(tǒng)一格式,也不必考慮特征線走向，但多了絕對值的計算。2、比較截斷誤差L-F格式的右端項：3、Lax-Wendroff格式1960年Lax和Wendroff構造了一個二階精度的二層格式。構造的思想是利用Taylor展開式及方程本身。代入上面的式子,于是有得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式利用Fourier方法分析穩(wěn)定性，得增長因子為：Lax-Wendroff格式的性質：1、滿足相容性，二階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：4、Courant-Friedrichs
4、-Lewy條件由差分方程解的依賴區(qū)域與微分方程解的依賴區(qū)域的關系導出的差分方程收斂的必要條件注：即差分方程解的依賴區(qū)域包含微分方程解的依賴區(qū)域注、Courant條件是保證穩(wěn)定性（收斂性）的必要條件，而非充分條件。例如：針對一維對流方程的差分格式的CFL條件（a>0）右偏格式：顯然，微分方程的依賴區(qū)域在差分方程的依賴區(qū)域之外，不滿足CFL條件，所以格式不穩(wěn)定。左偏格式（迎風格式）：實際上也是穩(wěn)定性的充分條件中心格式：格式不穩(wěn)定,所以CFL條件不是穩(wěn)定性的充分條件Lax-Wendroff格式：實際上也是穩(wěn)定性的充分條件5、利用特征線構造差分格式Beam-Wa
5、rming格式6、隱式格式①隱式中心隱式中心格式的性質：1、滿足相容性，對時間一階，對空間二階精度，截斷誤差為：2、無條件穩(wěn)定3、無條件收斂注、計算上需要人工邊界條件②Grank-Nicolson格式的性質：1、滿足相容性，二階精度，截斷誤差為：2、無條件穩(wěn)定3、無條件收斂注、計算上需要人工邊界條件7、蛙跳（leap－frog）格式分析穩(wěn)定性的Fourier方法適用于二層格式，所以把三層格式化為二層格式注：容易驗證增長矩陣不是正規(guī)矩陣，所以Neumann條件是滿足穩(wěn)定性的必要條件。蛙跳格式的性質：1、滿足相容性，二階精度，截斷誤差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定
6、性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：注：蛙跳格式形式簡單，二階精度格式。三層格式，需要二階的起步格式，如Lax-Wendroff格式
