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1、第6章矩陣位移法§6-1概述§6-2單元剛度方程§6-3坐標轉換問題§6-4整體分析§6-5元素的速算方法§6-6主程序框圖及算例§6-7結論與討論1.概述結點：桿件交匯點、剛度變化點、支承點。有時也取荷載作用點。圖中1、2、3、4點均為結點。單元：兩結點間的等直桿段。圖中1-3、2-4、3-4為單元。編碼：黑的結點編號稱整體碼。紅的1、2局限于單元，稱局部碼。坐標：蘭的坐標稱整體坐標。紅的x、y局限于單元，稱局部坐標1342xy121122yx右手系①②③將結構分解為桿件集合，為進行分析，事先需做下面稱為離散化的工作對于如下所示的結構，離散化時需先做以下的工作2.單元剛度方程基本
2、原理：在彈性小變形條件下，疊加原理成立。已有知識：轉角位移方程、單跨梁形常數(shù)和載常數(shù)。目的：像位移法一樣，通過“一拆、一合”來解決結構分析。為此，必須首先掌握單元的特性。利用疊加原理單元剛度方程平面拉壓-(桁架)單元EE連續(xù)梁單元利用疊加原理單元剛度方程剛度矩陣等效結點荷載矩陣不考慮軸向變形的平面梁柱單元q(x)根據(jù)形、載常數(shù)，利用疊加原理可得梁柱單元的單元剛度方程為單元剛度矩陣(應熟記)是轉角位移方程的矩陣表示單元桿端位移矩陣單元等效結點荷載矩陣向上滿跨均布荷載q作用逆時針滿跨均布力偶m作用根據(jù)單跨梁的載常數(shù)，可得計軸向變形的平面自由式梁柱單元單元剛度矩陣可根據(jù)疊加原理得到拉壓梁
3、柱這一結果對應的桿端位移矩陣如何？單元等效結點荷載可同理疊加得到補充單元剛度矩陣的性質根據(jù)反力互等定理，單元剛度矩陣一定是對稱矩陣。除連續(xù)梁單元剛度矩陣外，其它三種單元剛度矩陣是奇異的。解釋一：從數(shù)學上看，因為存在相關的行、列，所以對應的行列式為零，矩陣不可逆。解釋二：從物理概念上看，因為桿端相當于沒有約束（均可位移），自由體系在平衡外力作用下，可以產生慣性運動，所以無法由平衡的外荷唯一地確定位移。剛度矩陣元素kij的物理意義為：單元僅發(fā)生第個j桿端單位位移時，在第個i桿端位移對應的約束上所需施加的桿端力。3.坐標轉換問題在搞清單元特性后，像位移法一樣，需將單元拼裝回去。在結點處位
4、移自動滿足協(xié)調條件的基礎上，令全部結點平衡，即可建立求解位移的方程，這是下一節(jié)將討論的內容。除連續(xù)梁外，一般結構單元不全同方位，為保證協(xié)調和平衡，應將桿端位移和桿端力都轉換成統(tǒng)一的，對整體坐標的量，因此要先解決坐標轉換問題。下面先討論自由式梁單元的轉換問題。力的轉換位移的轉換將局部量向整體量方向投影，可得將整體量向局部量方向投影，可得第三、六兩個量不存在轉換問題。如果記結點位移坐標轉換矩陣為單元桿端位移坐標轉換矩陣為因此位移力剛度方程的轉換力轉換剛度方程位移轉換如果記整體坐標單元剛度矩陣為則整體坐標單元剛度方程為局部坐標連續(xù)梁單元需要進行坐標轉換嗎？連續(xù)梁的局部坐標與整體坐標一致，
5、所以不需要轉換。桁架單元如何進行坐標轉換？力的轉換位移的轉換第一種做法第二種做法位移擴展為剛度矩陣改為轉換矩陣局部坐標與整體坐標成900時，局部單剛和整體單剛間有何關系？局部坐標單元剛度矩陣整體坐標單元剛度矩陣To474.整體分析以圖示簡例來說明圖中有兩套編號，紅的是單元桿端編號，黑的是結構整體編號。4-1)結點示意121221①②③圖中藍色的表示結點荷載（已知），紅色的表示桿端力（未知的），、分別①、②單元桿端力子矩陣。對1、4結點“荷載”含有未知反力。24-2)結點平衡由示意圖可見，結構結點的平衡方程為121221①②③2134若記2134則平衡方程為式中(I)、0分別為單位和
6、零矩陣。若引入矩陣記號則結點平衡方程可改寫作這一結論雖然是由一個例子得到的，但是顯然對一切結構都是成立的。問題在于不同結構，(A)矩陣是不同的。①②③4-3)桿端位移用結點位移來表示121221①②③仍以上述簡單例子來說明若記由結點、桿端位移的協(xié)調條件，可得(?)、(?)的對應關系為式中(A)T是前面力關系(A)的轉置，因此(A)T稱為位移轉換矩陣。4-4)整體剛度方程——結點平衡121221①②③若記引入位移轉換關系，則這就是整體剛度方程，它的物理實質是結點平衡。(K)稱作結構剛度矩陣（或整體剛度矩陣），(P)稱作綜合等效結點荷載矩陣，它由兩部分組成:Pd直接結點荷載矩陣由結點荷
7、載組成PE等效結點荷載矩陣由單元荷載組成綜合等效結點荷載矩陣整體(總體)剛度矩陣整體(總體)剛度方程單元個數(shù)③②①4-5)整體剛度矩陣的建立121221①②③若將(A)按單元分成圖示三個子矩陣則121221①②③由此可見，整體剛度矩陣可由各單元整體剛度矩陣裝配累加得到。為說明如何裝配，先將單元剛度矩陣進行分割整體結點碼則由矩陣乘法可證明，(A)I(k)I(A)iT的結果是，將剛度矩陣子矩陣按整體結點碼r、s送整體剛度矩陣相應位置。這一裝配規(guī)則稱為“對號入座”。整體結點
