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1、§13-1概述§13-2單元?jiǎng)偠染仃?局部座標(biāo))第十三章矩陣位移法進(jìn)入進(jìn)入§13-3單元?jiǎng)偠染仃?整體座標(biāo)系)§13-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣§13-5剛架的整體剛度矩陣§13-7計(jì)算步驟和算例進(jìn)入進(jìn)入進(jìn)入進(jìn)入§13-6等效結(jié)點(diǎn)荷載進(jìn)入§13-8桁架及組合結(jié)構(gòu)的整體分析§13-8忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析進(jìn)入進(jìn)入8/23/20211矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m行和n列，稱為m?n階矩陣。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLé?êêêêêù?úúúúú2、方陣一個(gè)具有相同的行數(shù)和列
2、數(shù)的矩陣，即m=n時(shí)，稱為n階方陣。3、行矩陣和列矩陣一個(gè)單獨(dú)的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：A=[]aaaan1112131???由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：A=aaam11211┇é?êêêêêêù?úúúúúú8/23/202124、純量?jī)H由一個(gè)單獨(dú)的元素所組成的1?1階矩陣稱為純量。5、矩陣乘法兩個(gè)規(guī)則：（1）兩個(gè)矩陣僅當(dāng)他們是共形時(shí)才能相乘，即ABCplmplnmn′′′==當(dāng)時(shí)才能相乘AB=aaaabb111221221121é?êù?úé?êù?ú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122é?êù?úé?êù?ú非共形2×12×2（2）不具有交換
3、律，即AB1BA8/23/202136、轉(zhuǎn)置矩陣將一個(gè)階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：A=aaaaaa111221223132é?êêêù?úúú其轉(zhuǎn)置矩陣為AT=é?êù?úaaaaaa112131122232當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時(shí)，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若A=BCD則AT=DTCTBT7、零矩陣元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。8/23/20214任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI=AIA=A8/23/2021510、逆矩陣在矩陣運(yùn)算中，沒(méi)有矩陣的直接除法，除法運(yùn)算由矩陣求
4、逆來(lái)完成。例如，若AB=C則B=A-1C此處A-1稱為矩陣A的逆矩陣。一個(gè)矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：AA-1=A-1A=I矩陣求逆時(shí)必須滿足兩個(gè)條件：（1）矩陣是一個(gè)方陣。（2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。11、正交矩陣若一方陣A每一行（列）的各個(gè)元素平方之和等于1，而所有的兩個(gè)不同行（列）的對(duì)應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正交矩陣，則A=cossinsincosaaaa-é?êù?ú正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1=AT8/23/20216§13-1概述矩陣位移法的理論基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的位移法，只是它的表達(dá)形式采用矩陣代數(shù)
5、，而這種數(shù)學(xué)算法便于編制計(jì)算機(jī)程序，實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的程序化。一、矩陣位移法的基本思路矩陣位移法又可以稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法；矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是（1）結(jié)構(gòu)的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析，任務(wù)意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U件的轉(zhuǎn)角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程8/23/20217指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個(gè)位移分量，這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。符號(hào)規(guī)則：圖(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)
6、，局部座標(biāo)的座標(biāo)與桿軸重合；12eEAIl(a)圖(b)表示的桿端位移均為正方向。單元編號(hào)桿端編號(hào)局部座標(biāo)12(b)桿端位移編號(hào)12桿端力編號(hào)(c)二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元：8/23/202181212（1）單元桿端位移向量（2）單元桿端力向量凡是符號(hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部座標(biāo)系而言的。8/23/20219現(xiàn)在討論單元?jiǎng)偠确匠?。單元?jiǎng)偠确匠淌侵赣蓡卧獥U端位移求單元桿端力時(shí)的一組方程，可以用“”表示，由位移求力稱為正問(wèn)題。在單元兩端加上人為控制的附加約束，使基本桿單元的兩端產(chǎn)生任意指定的六個(gè)位移，然后根據(jù)這六個(gè)桿端位移來(lái)推導(dǎo)相應(yīng)的六個(gè)桿端力。e12eee
7、eee我們忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程?！?3-2單元?jiǎng)偠染仃?局部座標(biāo)系)進(jìn)行單元分析，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃?。一、一般單?/23/202110eeeeeee分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程。首先，由兩個(gè)桿端軸向位移可推算出相應(yīng)的桿端軸向力eeeee12其次，由桿端橫向位移可以用角變位移方程推導(dǎo)出相應(yīng)的桿端橫向力eeee8/23/202111eee將上面六個(gè)方程合并，寫成矩陣形式：8/23/202112EAl6EIl26E
