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1、第九章矩陣位移法1矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m行和n列，稱為m?n階矩陣。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLé?êêêêêù?úúúúú2、方陣一個(gè)具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即m=n時(shí)，稱為n階方陣。3、行矩陣和列矩陣一個(gè)單獨(dú)的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：A=[]aaaan1112131???由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：4、純量?jī)H由一個(gè)單獨(dú)的元素所組成的1?1階矩陣稱為純量。5、矩陣乘法兩個(gè)規(guī)則：（1）兩個(gè)矩陣僅當(dāng)他們是共形時(shí)才能相
2、乘，即ABCplmplnmn′′′==當(dāng)時(shí)才能相乘AB=aaaabb111221221121é?ù?úé?ù?ú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122é?ù?úé?ù?ú非共形2×12×2（2）不具有交換律，即AB1BA6、轉(zhuǎn)置矩陣將一個(gè)階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：A=aaaaaa111221223132é?êêêù?úúú其轉(zhuǎn)置矩陣為AT=é?êù?úaaaaaa112131122232當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時(shí)，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若A=BCD則AT=DTC
3、TBT7、零矩陣元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI=AIA=A10、逆矩陣在矩陣運(yùn)算中，沒有矩陣的直接除法，除法運(yùn)算由矩陣求逆來完成。例如，若AB=C則B=A-1C此處A-1稱為矩陣A的逆矩陣。一個(gè)矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：AA-1=A-1A=I矩陣求逆時(shí)必須滿足兩個(gè)條件：（1）矩陣是一個(gè)方陣。（2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。11、正交矩陣若一方陣A每一行（列）的各個(gè)元素平方之和等于1，而所有的兩個(gè)不同
4、行（列）的對(duì)應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正交矩陣，則A=cossinsincosaaaa-é?êù?ú正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1=AT9-1結(jié)構(gòu)的離散化與桿端位移、桿端力的符號(hào)結(jié)構(gòu)的離散化：等截面直桿單元①②③④⑤ABCEDF①②③④ABDEC桿端力和桿端位移的符號(hào)■彎矩、轉(zhuǎn)角：繞桿端順時(shí)針為正；■其它：與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?。iE，I，A，lj■：順時(shí)針為正ee桿端位移桿端力局部坐標(biāo)系e9-2局部坐標(biāo)系中自由單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒璭ee1.一般單元的剛度方程和剛度矩陣用e表示e用e表示eee局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠确匠?/p>
5、eeee局部坐標(biāo)下的自由單元的單元?jiǎng)偠染仃?.單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義單位桿端位移引起的桿端力（2）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣反力互等定理（3）自由單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚲仃囆辛惺降扔诹?，逆陣不存在。解不唯一★由桿端力只能求出變形，不能求桿端總的位移（剛體位移+變形）。解唯一eeeeee3.特殊單元若單元六個(gè)桿端位移中有某一個(gè)或幾個(gè)已知為零，則該單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元?jiǎng)偠确匠痰奶乩?。e12e（1）連續(xù)梁?jiǎn)卧膭偠确匠虇卧獌啥酥挥修D(zhuǎn)角位移eeeee12eeee（2）桁架單元?jiǎng)偠确匠蹋?）剛架中忽略軸向變形的
6、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠?-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?.單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣局部坐標(biāo)系下的桿端力整體坐標(biāo)系下的桿端力F(1)xyxyαeijF(3)F(2)F(4)F(6)F(5)xyxyαeijF(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)?的符號(hào)：由x軸到x軸的夾角?以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。eeee坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣（正交）同理：ee其中:整體坐標(biāo)下的桿端位移2.整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噀eeee整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠确匠陶w坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)與局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囅嗤琫eeeeeeeeeeeeeee9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣1.整體剛度矩
7、陣的集成總體編碼:只對(duì)≠0結(jié)點(diǎn)位移(結(jié)點(diǎn)力)進(jìn)行編碼①②231①②231F1F2F3(1)(2)①(1)(2)②局部編碼:對(duì)每個(gè)單元的桿端位移進(jìn)行編碼1223①②231只考慮單元①發(fā)生位移需要的結(jié)點(diǎn)力①①①①①擴(kuò)展①②231F1F2①①F3①①①=0②②231F1F2①②231只考慮單元②發(fā)生位移需要的結(jié)點(diǎn)力②①②②擴(kuò)展F3②②②②②②=0yx考慮兩個(gè)單元發(fā)生位移需要的結(jié)點(diǎn)力①②231①②3F1=F1+F1①②F2=F2+F2①②F3=F3+F3①②①①②②結(jié)點(diǎn)力列向量結(jié)點(diǎn)位移列向量整體剛度矩陣21①②展開單元①的貢獻(xiàn)矩陣單元②的貢獻(xiàn)
8、矩陣單元①貢獻(xiàn)矩陣的形成單元①的定位向量單元②貢獻(xiàn)矩陣的形成單元②的定位向量換碼重排座換碼重排座形成總剛：將整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚢炊ㄎ幌蛄窟M(jìn)行換碼，然后，進(jìn)行集成。例題試求連續(xù)梁的整體剛度矩陣1③②23①解(1)總
