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《一個最值問題討論.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、一個最值問題的討論教學目的：（1）引導學生提出問題，進而產(chǎn)生數(shù)學應用意識，建立數(shù)學模型；（2）引導學生猜想以及用通法解決問題；（3）引導學生作題后體會和反思。教學重點：引導學生審題、分析，合理尋找數(shù)學方法解決問題。教學預想過程：我們先來看一個問題。畫圖口述。設長為l的線段AB的兩端在拋物線上移動。我們可以提出一個怎樣的問題呢？這個問題如果做個實驗，就是一根光滑均勻的細桿在光滑的拋物線槽內(nèi)無摩擦滑動。我們對什么感興趣呢？學生回答。。。（學生可能會回答對細杠的穩(wěn)定位置感興趣，也可能回答其他。）那么滑動過程中什么時候重心最低。重心位置最低時，細杠若處于靜止，
2、則是穩(wěn)定平衡的。下面我們就來求AB的中點（重心）M的縱坐標的最小值。題目：設長為l的線段AB的兩端在拋物線上移動，求AB的中點M的縱坐標的最小值。先讓我們猜猜看。好像是平放時，這樣總能穩(wěn)定位置。是不是這種情況就是最小值。我們想象一下，當有些細桿平放時，你去動它一下，桿子還會平放嗎？會不會不再平了。估計學生會說好像會改變，或說不清楚。平放長為10個單位的細桿時，兩個端點為A（－5，25），B（5，25），中點M為（0，25），顯然，10個單位的細桿在其他很多位置時的中點縱坐標低于25.事實上，你平放長為10個單位的細桿時，這種平衡是非穩(wěn)定的。下面，我們來
3、解這個數(shù)學問題。解：設A為，B為，M為，
4、AB
5、=l，我們想選擇一個基本量，將縱坐標y表示成這個基本量的函數(shù)。（1）選擇直線AB的斜率k如何？（2）選擇M的橫坐標如何？學生思考。由于，所以選斜率k和選橫坐標x是一回事。這里我們就選x.＝
6、AB
7、2＝，，又，所以，①整理得：，②3由，所以，.，是不是做完了，發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？如果，是負的，這可能嗎？當然不可能，有問題！問題出在哪里呢？我們進一步來看。先把它的橫坐標x求出配上，因為點的坐標是x，y配套的。此時.問題更大了，要，為什么？難道就不能放上去嗎？因為實際上②式不是二次方程，而是雙二次的，我們借用二次方
8、程有關的概念來解決它時，要受到根不能為負的制約，所以需要.我們暫時解決了當時的情況。當時，我們也可以把①式看作y是x的函數(shù)。那么能用函數(shù)的方法來解決它嗎？把①式變形。，所以.定義域呢？x的范圍是不是R？我們可以暫不關心定義域，先把定義域為R的最值求出，再看這樣的x可以取到嗎？（留給有興趣的同學們課后思考：定義域就是R.）（這段內(nèi)容上課不講，證明如下：取任意指定的一個實數(shù)x，作動弦PQ，使PQ的斜率為2x，則動弦的中點為常數(shù)。這說明斜率為2x的動弦PQ的中點橫坐標確定，再通過l計算，作為通過點的縱坐標，以此確定動弦PQ，這就是長為l，中點橫坐標為x的弦。
9、），當且僅當，即取。此時還是需要.當時，設，則，設，.任取，設，則==＜0，此時遞增，所以，，當且僅當取。綜上，當時，，當且僅當??；當時，，當且僅當取。3現(xiàn)在我們再回到方程②上來，利用方程②是不是一定不能解決當時的問題？實際上我們并不需要雙二次方程②的兩個根都是非負的。我們只要y的取值，使雙二次方程②至少有一個非負實數(shù)根就能解決問題。為方便起見，令，則方程②化為.設，（1）有解為0，即，得，此時；（2）在內(nèi)有且只有一個解，且0不是解，則，得，即；（3）在內(nèi)有兩個解（包括重根），則所以③當時，③等價于；當時，③無實數(shù)解。綜上，當時，或或，此時（取）；當時
10、，或，此時（?。?。這個結(jié)果和前面用基本不等式、單調(diào)性的方法得到的結(jié)論一樣。這節(jié)課我們通過一個最值問題的求解，回顧了解決最值問題的幾個常用方法，即用二次方程的判別式，用基本不等式，用函數(shù)單調(diào)性，用二次方程的根的分布等方法解決問題。請同學們課后再體會這些方法的選用。作業(yè)：1．求從軸上的定點到橢圓上點的最短距離。2．已知經(jīng)過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，求三角形的面積的最大值。3
