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1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第2章一元函數(shù)微分學(xué)高等數(shù)學(xué)A2.1導(dǎo)數(shù)及微分2.1.9高階導(dǎo)數(shù)2.1.10隱函數(shù)的求導(dǎo)法則2.1導(dǎo)數(shù)及微分2.1.9高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定義與記號簡單函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的習(xí)例1-5高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則習(xí)例6-82.1.10隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)習(xí)例9-14內(nèi)容小結(jié)課堂思考與練習(xí)導(dǎo)數(shù)及微分間接法直接法一、高階導(dǎo)數(shù)的定義與記號問題:變速直線運動的加速度.定義:即記號與求導(dǎo)過程:類似地，y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù).記為稱二階、三階…n階導(dǎo)數(shù)為高階導(dǎo)數(shù).y
2、=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù).記為y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).注意：(2)高階導(dǎo)數(shù)是在低一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上定義的，故求高階導(dǎo)數(shù)得先求出各低階導(dǎo)數(shù).(3)物體運動的加速度，是距離函數(shù)關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù),即一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定再可導(dǎo),也不一定連續(xù).如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有直到n階的導(dǎo)數(shù)f(n)(x),且f(n)(x)仍是連續(xù)的(此時低于n階的導(dǎo)數(shù)均連續(xù)),則稱f(x)在區(qū)間I上n階連續(xù)可導(dǎo),記為如果f(x)在區(qū)間I上的任意階的高階導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù),則稱函數(shù)f(x)是無窮次連續(xù)可導(dǎo)的,記為說明：二、簡單函數(shù)
3、高階導(dǎo)數(shù)的習(xí)例1.直接法由低階向高階逐步求高階導(dǎo)數(shù).例4解:練習(xí):1.y=(ax+b)n的高階導(dǎo)數(shù)當(dāng)k≥n+1時，y(k)=0解：當(dāng)1≤k≤n時解:注意：求n階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)解：解思考:例4類似地，有Soeasy2.間接法利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則運算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).例5例6例7求2.間接法求高階導(dǎo)數(shù)例5解利用公式例6解例7求解由于故三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則定理1：如果u=u(x),v=v(x)都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù),則公式(2)稱為L
4、eibniz(萊布尼茲)公式.注意:求高階導(dǎo)數(shù)的方法可歸納為三種方法1(直接法):即利用高階導(dǎo)數(shù)的定義，再由不完全歸納法得出結(jié)論.方法3:即利用高階導(dǎo)數(shù)的運算法則來得結(jié)論.方法2(間接法):即利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則運算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).四、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則習(xí)例例9例10解：例9解例10解解：注意，y',y''是y對x的導(dǎo)數(shù)，而導(dǎo)數(shù).由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則，得是求x對y的五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).值
5、得注意的是：在求導(dǎo)過程中，若x為自變量，則y是x的函數(shù)，關(guān)于y的其他形式都是復(fù)合函數(shù).如果由方程F(x,y)=0確定隱函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則將y=f(x)代入方程中，得到F(x,f(x))?0對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)：然后，從這個式子中解出y?，就得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)法則:六、隱函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)習(xí)例解:方程兩邊對x求導(dǎo)得,求二階導(dǎo)數(shù)有兩個方法:方法1.方法2.解:所求切線方程為顯然通過原點.內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4)利用萊布尼茲公式1.高階導(dǎo)數(shù)的求法2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對
6、方程兩邊求導(dǎo)思考題：習(xí)題2.1第1題（10）到（12）思考題參考答案課堂練習(xí)：習(xí)題2.1第19題到第22題練習(xí)參考答案1.設(shè)連續(xù)，且，求.可導(dǎo)不一定存在故用定義求解練習(xí)題2已知任意階可導(dǎo),且時提示:則當(dāng)3.證明f(x)=arcsinx滿足下式證：對上式關(guān)于x求導(dǎo)n次：故即4.設(shè)求解:即用萊布尼茲公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得
