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《空間圖形的公理（公理4定理） 課件（北師大版必修二）.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、對公理4的理解(1)本質(zhì)：表明了空間中線線平行的傳遞性.(2)作用：公理4給出了空間兩條直線平行的一種證明方法.它是論證平行問題的主要依據(jù)之一，也是研究空間兩直線的位置關系、直線與平面位置關系的基礎.公理4的應用(3)應用：“等角定理”的證明是公理4的直接應用.(4)關鍵：尋找第三條直線分別與前兩條直線平行是應用公理4證明線線平行的關鍵.也就是說，要證空間中的兩直線平行，就要找一條與之平行的直線，利用傳遞性證明.平面幾何中的結論推廣到空間之后，未必成立，其正確性是需要證明的，這一點在今后的學習中
2、要特別注意.【例1】空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD上的點且請回答并證明當空間四邊形ABCD的四條邊及點G、H(1)滿足什么條件時，四邊形EFGH為平行四邊形？(2)滿足什么條件時，四邊形EFGH為菱形？【審題指導】由可想到利用平行線分線段成比例定理證明EF∥AC；為使四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)公理4需證明GHAC；為使四邊形EFGH為菱形，在(1)成立的情況下，還需證明EH=EF，進一步可得AC、BD的關系.【規(guī)范解答】(1)當時，四邊形EFGH為平行四邊
3、形.理由：若則HG∥AC且∴EFHG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.(2)當且時，四邊形EFGH為菱形.理由：由(1)知，若則四邊形EFGH為平行四邊形.且若則∴平行四邊形EFGH為菱形.【互動探究】在本例中若條件不變，請回答下列問題并證明(1)滿足什么條件時，四邊形EFGH為矩形；(2)滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形.【解題提示】解答本題一方面要應用公理4證明平行關系，另一方面要利用異面直線所成角的定義證明垂直關系.【解析】(1)當且AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形.理由：由例題知時
4、，四邊形EFGH為平行四邊形，且EF∥HG∥AC，EH∥GF∥BD.∴當AC⊥BD時，EF⊥EH，∠HEF為90°.∴四邊形EFGH為矩形.(2)當且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形.理由：由例題(2)及上面所得(1)可知.由可知四邊形EFGH為平行四邊形.由及AC⊥BD得四邊形EFGH為正方形.【例】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)過P作一條直線與棱CD平行，說明作法；(2)求證：EFE1F1.【審題指導】在空間中作已知直線的平
5、行線，通常要考慮用公理4；要證EFE1F1，只需證明四邊形EFF1E1是平行四邊形即可.【規(guī)范解答】(1)如圖，在平面A1B1C1D1內(nèi)過P作直線l∥C1D1，∵CD∥C1D1,∴l(xiāng)∥CD，故l為所求作直線.(2)連接EE1，F(xiàn)F1.∵AEA1E1，∴四邊形AEE1A1為平行四邊形,∴AA1E1E，同理AA1F1F,∴EE1F1F,即四邊形EFF1E1為平行四邊形,∴EFE1F1.【變式備選】如圖所示，E、F分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、C1C的中點.求證：四邊形B1EDF是
6、平行四邊形.【證明】設Q是DD1的中點，連接EQ，QC1，∵E是AA1的中點，∴EQA1D1，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1EC1Q.又∵Q、F分別是DD1、C1C兩邊的中點，∴QDC1F.∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1QDF.又∵B1EC1Q，∴B1EDF，∴四邊形B1EDF是平行四邊形.【誤區(qū)警示】證明此類問題時，同學們?nèi)菀壮霈F(xiàn)證明過程太簡單，推理依據(jù)不充足，“想當然”地認為結論成立的情況，這種思維定勢是學好立體
7、幾何的障礙之一.對“等角定理”的理解(1)本質(zhì)：“等角定理”是平面幾何中等角定理的類比推廣.(2)作用：①解決空間中角的平移的問題.②揭示空間中兩條邊對應平行的兩個角的大小關系.“等角定理”的應用(3)兩個推論：推論1如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相同.推論2如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且有一組對邊方向相同，另一組對邊方向相反，那么這兩個角互補.【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別為所在邊的中點.求證：
8、(1)EFE1F1；(2)∠EA1F=∠E1CF1.【審題指導】空間中證明線線平行，線段與線段長度相等，可以利用平行關系和線段長度關系的傳遞性，選擇“中間線段”證明.空間中證明角與角相等，可以利用“等角定理”分別證明角的兩條邊分別平行，再結合圖形得證.【規(guī)范解答】(1)連接BD、B1D1，∵E、F分別為AD、AB的中點，∴在△ABD中有EF∥BD，且∵E1、F1分別為B1C1、C1D1的中點，∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且而在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1DD1，∴四邊形
