高階偏導(dǎo)數(shù)ppt課件.ppt

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1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程大學(xué)數(shù)學(xué)（三）多元微積分學(xué)第一章多元函數(shù)微分學(xué)第一章多元函數(shù)微分學(xué)本章學(xué)習(xí)要求：理解多元函數(shù)的概念。熟悉多元函數(shù)的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。會(huì)求二元函數(shù)的極限。知道極限的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。理解二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分等概念。了解全微分存在的必要條件和充分條件。了解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的幾何意義。熟練掌握二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分的計(jì)算方法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。能熟練求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。了解求偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無關(guān)的條件。理解方向?qū)?shù)的概念，并掌握它的計(jì)算方法以及它與梯度的關(guān)

2、系。會(huì)求隱函數(shù)(包括由方程組確定的隱函數(shù))的一階、二階偏數(shù)。知道二元函數(shù)的泰勒公式形式。知道n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念及其求法。熟悉平面的方程和直線的方程及其求法。了解空間(平面)曲線的參數(shù)方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的概念,并能熟練求出它們的方程。知道曲線族的包絡(luò)的概念及其法。12.理解二元函數(shù)無約束極值的概念，能熟練求出二元函數(shù)的無約束極值。了解條件極值（有約束極值）的概念，能熟練運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。13.掌握建立與多元函數(shù)極值有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。第七節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的高階

3、導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的情形類似.一般說來,在區(qū)域?內(nèi),函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)仍是變量x,y的多元函數(shù),如果偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).依此類推,可定義多元函數(shù)的更高階的導(dǎo)數(shù).仍可偏導(dǎo),則它們的偏導(dǎo)數(shù)就是原來函數(shù)一般地,若函數(shù)f(X)的m－1階偏導(dǎo)數(shù)仍可偏導(dǎo),則稱其偏導(dǎo)數(shù)為原來函數(shù)的m階偏導(dǎo)數(shù).二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)均稱為高階偏導(dǎo)數(shù),其中,關(guān)于不同變量的高階導(dǎo)數(shù),稱為混合偏導(dǎo)數(shù).例高階偏導(dǎo)數(shù)還可使用下列記號(hào)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項(xiàng)例例例例共23=8項(xiàng).發(fā)現(xiàn)求高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān).求的二階偏導(dǎo)數(shù).先求一階偏導(dǎo)數(shù)：再求二階偏導(dǎo)數(shù)：例解求的二階偏導(dǎo)數(shù).例解二階混合偏導(dǎo)數(shù)：觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)混

4、合偏導(dǎo)數(shù)相等一般性？這里的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)設(shè)求需按定義求函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù):00不相等例解這說明只有在一定的條件下求函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)才與求導(dǎo)順序無關(guān).想想應(yīng)是什么條件？定理若的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在且在點(diǎn)處連續(xù),則必有廢話!求出偏導(dǎo)數(shù)才能判斷連續(xù)性,這時(shí)一眼就可看出混合偏導(dǎo)數(shù)是否相等了,還要定理干什么.有些函數(shù)不必求出其導(dǎo)數(shù),就可知道它的導(dǎo)函數(shù)是否連續(xù).懂嗎！令則連續(xù)、可導(dǎo),由拉格朗日中值定理得證即關(guān)于變量y再運(yùn)用拉格朗日中值定理,得同理,令則先關(guān)于變量y再關(guān)于變量x運(yùn)用拉格朗日中值定理,得故由二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性,取極限后,即得定理的結(jié)論.該定理的結(jié)論可推廣到更高

5、階的混合偏導(dǎo)數(shù)的情形.現(xiàn)在問你,證明定理時(shí)為什么會(huì)想到用？看圖課后再想是依次將一個(gè)變量看成常數(shù)求導(dǎo).引入記號(hào)：在內(nèi)有直到k階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),記為時(shí),則在求n階及n階以下的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),可大大減少運(yùn)算次數(shù).自變量的個(gè)數(shù)越多,求導(dǎo)與求導(dǎo)順序無關(guān)的作用越二元函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)就有2n項(xiàng),當(dāng)明顯.例解例解例解這是求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).請(qǐng)自己計(jì)算例解利用變量代換將方程化為關(guān)于變量的方程.令例解即同理可得將上述偏導(dǎo)數(shù)帶入原方程,得到利用算子可以方便地表示高階微分泰勒公式高階微分若則它的全微分存在,且若則111211331…………系數(shù)：例解稱為二階Hessian矩陣二階微分的矩陣表示：又故例解泰勒公式

6、與求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法類似,我們想借助一元函數(shù)的泰勒公式來建立多元函數(shù)的泰勒公式.首先,將一元函數(shù)的泰勒公式寫成微分形式：x為自變量時(shí)運(yùn)用點(diǎn)函數(shù)進(jìn)行推廣定理(多元函數(shù)的泰勒公式)拉格朗日余項(xiàng).該公式稱為多元函數(shù)泰勒公式的微分形式由多元函數(shù)高階微分式：多元函數(shù)的泰勒公式可寫成一般形式：證明多元函數(shù)泰勒公式的思想方法是引入?yún)⒆兞?，將多元函?shù)的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元函數(shù)問題，選擇參變量的特殊值，寫出一元函數(shù)的泰勒公式，并按多元函數(shù)的求導(dǎo)法則求所需的各階偏導(dǎo)數(shù)，即可完成多元函數(shù)的泰勒公式的證明.于是由一元函數(shù)的泰勒公式再按多元函數(shù)的求導(dǎo)法則求出各階導(dǎo)數(shù)值,即可得到多元函數(shù)的泰勒公式.取

7、X0=0,泰勒公式即為馬克勞林公式.即取m=0由已知條件及X0的任意性,立即可得例證