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《《D82高階偏導數(shù)》PPT課件》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第二節(jié)一、偏導數(shù)概念及其計算二、高階偏導數(shù)偏導數(shù)第九章一、偏導數(shù)定義及其計算法引例:研究弦在點x0處的振動速度與加速度,就是中的x固定于x0處,求一階導數(shù)與二階導數(shù).關于t的將振幅定義1.在點存在,的偏導數(shù)，記為的某鄰域內則稱此極限為函數(shù)極限設函數(shù)注意:同樣可定義對y的偏導數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內每一點(x,y)處對x則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為偏導數(shù),記為或y偏導數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導數(shù)定義為(請自己寫出)二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的切線對x軸的斜率.在
2、點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).上節(jié)例在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!例1.求解法1解法2在點(1,2)處的偏導數(shù).先求后代先代后求例2.設證:例3.求的偏導數(shù).解:求證偏導數(shù)記號是一個例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,二、高階偏導數(shù)設z=f(x,y)在域D內存在連續(xù)的偏導數(shù)若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導數(shù).按求導順序不同,有下列四個二階偏導數(shù):類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，z=f(x,y
3、)關于x的三階偏導數(shù)為z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數(shù),再關于y的一階偏導數(shù)為例5.求函數(shù)解:注意:此處但這一結論并不總成立.的二階偏導數(shù)及例如,二者不等問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等？例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等證明定理.證:令則則又令同樣在點連續(xù),得證畢．解例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求
4、初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等證明定理.證:令則則又令同樣在點連續(xù),得內容小結1.偏導數(shù)的概念及有關結論定義;記號;幾何意義函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2.偏導數(shù)的計算方法求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時,應選擇方便的求導順序)思考與練習解答提示:P129題5P129題5,6即x＝y(tǒng)＝0時,P129題6(1)(2)作業(yè)P186（2）,（3）,7；8；9（2）第三節(jié)備用題設方程確定u是x
5、,y的函數(shù),連續(xù),且求解:
