高數(shù)下冊(cè)總復(fù)習(xí).ppt

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1、（一）向量的數(shù)量積計(jì)算、直線與平面的對(duì)應(yīng)向量之間的關(guān)系,空間曲面上某點(diǎn)法線方程的確定（1）（一）（2）設(shè)則（一）向量的數(shù)量積計(jì)算、直線與平面的對(duì)應(yīng)向量之間的關(guān)系,空間曲面上某點(diǎn)法線方程的確定（3）曲面在某點(diǎn)處的法線方程的確定要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的法線方程的確定（1）設(shè)曲面方程為第一步：計(jì)算第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：利用點(diǎn)法式和對(duì)稱式分別寫出切平面和法線的方程3、典型例題解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直

2、線的方程例2：設(shè)直線L和平面?的方程分別為則必有（）解：C要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算II：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；例1：設(shè)答案：IV：多元函數(shù)極值（條件極值和無條件極值）；（二）隱函數(shù)存在定理的應(yīng)用、方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算、復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算、多元函數(shù)極值（含條件極值和無條件極值）；例:(1)函數(shù)在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點(diǎn)處沿到點(diǎn)的方向上的方向?qū)?shù)例3：設(shè)求解：zxyuxyu例4：設(shè)答案：例5：

3、設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得例6：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題1的所有可能的極值點(diǎn)。問題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件?(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3）條件極值。例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)(x,y,z)為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問題1：在約束條

4、件下，求距離d的最大最小值。由于d中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問題1轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為三、二重積分和式極限定義、

5、二重積分積分次序的交換、二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算、三重積分（柱面坐標(biāo)）計(jì)算；重點(diǎn)內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；答案：例1：計(jì)算二重積分答案：三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：解積分區(qū)域分為兩塊例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域D由圖可知D又可以寫成X型區(qū)域（3）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；再根據(jù)D的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分。例3:計(jì)算由直線y=x及曲線所圍平面區(qū)域。（4）利用對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積

6、分；在二重積分的計(jì)算過程中，要注意對(duì)稱性。例5：計(jì)算其中D由直線y=x,y=?1,及x=1所圍平面區(qū)域解（5）三重積分在直角坐標(biāo)系中“先二后一”的計(jì)算方法；例6：提示：再對(duì)用“先二后一”的方法計(jì)算，并用對(duì)稱性給出另外兩項(xiàng)的結(jié)果。例7：提示：利用對(duì)稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例8：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；（2）基本公式格林

7、公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2.平面曲線積分“封口法”和“挖洞法”。與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域G內(nèi)（4）基本計(jì)算技巧1.利用對(duì)稱性；2.利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3.利用關(guān)系式將對(duì)不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；4.利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡化平面曲線積分。例1：設(shè)橢球面的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對(duì)稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對(duì)稱性0例3：提示：利用高

8、斯公式及橢球體的體積。例4：設(shè)f(x)在(0,+?)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L是由點(diǎn)提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A(1,2)到點(diǎn)B(2,8)的直線段，計(jì)算（30）例5：計(jì)算?由拋物面與圓柱面及坐標(biāo)面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標(biāo)例6：計(jì)算再由坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸到B(2,0)。解：其中，L為由點(diǎn)A(?1,1)沿曲線到坐標(biāo)原點(diǎn)，分析：應(yīng)用格林公式補(bǔ)充：五、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對(duì)收斂、冪級(jí)數(shù)的收斂域，