《高數(shù)下冊總復(fù)習(xí)》PPT課件

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1、期末考試復(fù)習(xí)重點(diǎn)（1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，空間曲面的切平面（2）函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)（連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)與全微分、條件極值（3）二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)）（4）第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。（5）數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別，絕對收斂與條件收斂冪級數(shù)的收斂域、求級數(shù)求和函數(shù)。（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設(shè)則（2）曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計(jì)算第二步：計(jì)算曲面

2、的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：利用點(diǎn)法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程要點(diǎn)II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線?的方程第一步：確定點(diǎn)第二步：計(jì)算第三步：利用對稱式和點(diǎn)法式分別寫出切線和法平面的方程（2）設(shè)空間曲線?的方程解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題例2：設(shè)直線L和平面?的方程分別為則必有（）解：C例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點(diǎn)為例:(1)已知曲線在點(diǎn)P處的切線平行于平面，求P點(diǎn)的坐標(biāo)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向

3、導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點(diǎn)的定義域、極限和連續(xù)要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限1、利用函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準(zhǔn)則與兩個重要極限例：求下列函數(shù)的極限：解：求極限解：求極限（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、連續(xù)要點(diǎn)：II：用定義求二元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)（二）多元

4、函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值典型例題例1：設(shè)求解：典型例題例2：設(shè)求解：典型例題例3：設(shè)求解：二元函數(shù)的連續(xù)性要點(diǎn)：III：多元函數(shù)的連續(xù)性(2)討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；例1：設(shè)答案：IV：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；例2：函數(shù)在點(diǎn)處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？并

5、求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求例3：設(shè)求解：zxyuxyu例4：設(shè)答案：要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；IV：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題1的所有可能的極值點(diǎn)。問題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件?(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進(jìn)一步確定

6、所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3）條件極值。例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)(x,y,z)為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。由于d中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將問題1轉(zhuǎn)化為下面的等價問題問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點(diǎn)：對應(yīng)的距離為例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：問題1：在約束條件下，求距離d的最大最小值。求得兩個

7、駐點(diǎn)：對應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；例1：計(jì)算二重積分答案：三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：（3）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；再根據(jù)D的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分。例3:計(jì)算由直線y=x及曲線所圍平面區(qū)域。（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分；在二重積分的計(jì)算過程中，要注意對稱性。例5：計(jì)算其中D由直線y=x,