直線的方程與圓復習.doc

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1、傾斜角與斜率【例】已知過兩點，的直線l的傾斜角為45°，求實數(shù)的值。解：∵,∴，解得或。但當時,A、B重合，舍去．∴．【例】已知三點A（a，2）、B(3，7）、C（-2,-9a)在一條直線上,求實數(shù)a的值．解:，.∵A、B、C三點在一條直線上,∴，即，解得或。兩條直線平行與垂直的判定1.對于兩條不重合的直線、，其斜率分別為、，有：（1）?；（2)?。2。特例：兩條直線中一條斜率不存在時，另一條斜率也不存在時，則它們平行,都垂直于x軸;…。:【例】四邊形ABCD的頂點為、、、，試判斷四邊形ABCD的形狀。解：AB邊所在直線的斜率，CD邊所在直線的斜率,BC邊所在直線的斜率，DA邊所在直線的斜率

2、，∵，∴AB//CD，BC//DA，即四邊形ABCD為平行四邊形.又∵,∴AB⊥BC，即四邊形ABCD為矩形?！纠恳阎捻旤c，其垂心為，求頂點的坐標．解：設頂點A的坐標為．∵，∴，即，化簡為，解之得：?！唷的坐標為。直線的點斜式方程【例】已知直線。（1）求直線恒經(jīng)過的定點；(2）當時，直線上的點都在軸上方，求實數(shù)的取值范圍.解：（1)由，易知時，，所以直線恒經(jīng)過的定點.（2）由題意得，解得。【例】光線從點A（－3,4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點B(－2，6），求射入y軸后的反射線的方程.解:∵A（－3,4）關于x軸的對稱點A1（－3，－4）在經(jīng)x軸反射的光線上，同樣A

3、1(－3，－4)關于y軸的對稱點A2（3，－4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，∴k==－2.故所求直線方程為y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0.【例4】已知直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程．解：由已知得與兩坐標軸不垂直．∵直線經(jīng)過點，∴可設直線的方程為，即.則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為.根據(jù)題意得，即.當時,原方程可化為，解得；當時，原方程可化為,此方程無實數(shù)解.故直線的方程為，或。即或。直線的兩點式方程1.兩點式：直線經(jīng)過兩點，其方程為，2.截距式:直線在x、y軸上的截距分別為a、b，其方程為.3。兩點式不能表示垂直x、y軸直線；截距式不能表示垂直x

4、、y軸及過原點的直線.4.線段中點坐標公式.【例】已知△頂點為,求過點且將△面積平分的直線方程。解:求出中點的坐標，則直線即為所求，由直線方程的兩點式得，即.【例】菱形的兩條對角線長分別等于8和6,并且分別位于x軸和y軸上，求菱形各邊所在的直線的方程解：設菱形的四個頂點為A、B、C、D，如右圖所示。根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分可知，頂點A、B、C、D在坐標軸上，且A、C關于原點對稱，B、D也關于原點對稱.所以A(－４，0），C(４，0)，B（0，3)，D（0，－3）。由截距式，得直線AB的方程：＝1，即3x－４y＋12＝0;直線BC的方程：＝1,即3x＋４y－12＝0；直線AD方程：＝1,

5、即3x＋４y＋12＝0；直線CD方程:＝1即3x－４y－12＝0.直線的一般式方程1.一般式：，注意A、B不同時為0.直線一般式方程化為斜截式方程，表示斜率為，y軸上截距為的直線。2與直線平行的直線，可設所求方程為；與直線垂直的直線，可設所求方程為.過點的直線可寫為。經(jīng)過點，且平行于直線l的直線方程是;經(jīng)過點，且垂直于直線l的直線方程是.3。已知直線的方程分別是：（不同時為0）,（不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別:(1)；（2）;（3）與重合;(4）與相交。如果時，則；與重合；與相交?！纠恳阎本€:,:，問m為何值時：(1）；（2）。解：（1)時，，則,解得m＝0.（2）時,

6、，解得m＝1.【例】（1）求經(jīng)過點且與直線平行的直線方程；(2）求經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程。解：（1）由題意得所求平行直線方程，化為一般式.(2）由題意得所求垂直直線方程,化為一般式?！纠恳阎本€l的方程為3x+4y－12=0，求與直線l平行且過點（－1，3）的直線的方程．解：直線l:3x+4y－12=0的斜率為，∵所求直線與已知直線平行,∴所求直線的斜率為，又由于所求直線過點（－1，3），所以，所求直線的方程為：,即.兩條直線的交點坐標1一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組.若方程組有惟一解,則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點,此時兩條直

7、線平行;若方程組有無數(shù)解,則兩條直線有無數(shù)個公共點，此時兩條直線重合。2。方程為直線系，所有的直線恒過一個定點,其定點就是與的交點?！纠颗袛嘞铝兄本€的位置關系.如果相交，求出交點坐標.直線l1:，l2：.解：解方程組，消y得。當時，方程組無解,所以兩直線無公共點,//。當時，方程組無數(shù)解，所以兩直線有無數(shù)個公共點，l1與l2重合。當且,方程組有惟一解,得到，，l1與l2相交.∴當時，//；當時，l1與l2重