2015年考研數(shù)學基礎階段-高等數(shù)學講義.doc

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3、00優(yōu)選模塊十四多元函數(shù)微分學的應用160模塊十五：二重積分165模塊十六：多元函數(shù)積分學（數(shù)學一）180模塊十七:微分方程202模塊十八常數(shù)項級數(shù)221模塊十九冪級數(shù)230模塊一：函數(shù)一．函數(shù)的概念【定義1.1】若為一個非空實數(shù)集合，設有一個對應法則，使得對每一個都有一個唯一確定的實數(shù)與之對應，則稱這個對應法則為定義在上的一個函數(shù)，或稱變量是變量的函數(shù)，記作.其中稱為自變量，稱為因變量，集合稱為函數(shù)的定義域，也可以記作.對于所對應的的值，記作或，稱為當時函數(shù)的函數(shù)值.全體函數(shù)值組成的集合，稱為函數(shù)

4、的值域，記作.注：1）兩個函數(shù)相等當且僅當其定義域與對應法則均相等.200/200優(yōu)選2)在沒有特別指定的情況下，函數(shù)的定義域取自然定義域，即使得函數(shù)運算有意義的自變量的取值X圍.易知，人為指定的定義域必為自然定義域的子集.常見的函數(shù)的定義域如下：二．函數(shù)的運算1、四則運算2、復合函數(shù)設與為兩個函數(shù)，若的值域包含于的定義域，則可以定義為函數(shù)與的復合函數(shù)，記作或.【例1】已知且求及其定義域．答案：【例2】設，試求與200/200優(yōu)選答案：【例3】（2001—2）則=（）01．答案：3、反函數(shù)（1）反函

5、數(shù)的定義設為定義在上的一個函數(shù)，其值域為.若對于每一個，均有唯一確定的使得與之對應，則將該對應法則記作，并這個定義在上的函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，或稱它們互為反函數(shù).（2）存在反函數(shù)的充要條件函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，對于定義域中任意兩個不同的自變量，有.（3）反函數(shù)的性質?。┖瘮?shù)與其反函數(shù)的圖像關于直線對稱.200/200優(yōu)選ⅱ）設函數(shù)的定義域為，值域為，若在上單調遞增（或遞減），則在上存在反函數(shù)，且在上單調遞增（或遞減）.三．基本性質1、單調性（1）定義對于函數(shù)，若在某區(qū)間內的任意兩點，均滿足（或

6、），則稱函數(shù)在上單調遞增（或單調遞減），并稱為的一個單調增區(qū)間（或單調減區(qū)間）.若對區(qū)間內的任意兩點均有（或），則稱函數(shù)在上單調不減（或單調不增）.（2）性質①若均為增函數(shù)（或減函數(shù)），則亦為增函數(shù)（或減函數(shù)）.②設為增函數(shù)，若常數(shù)，則為增函數(shù)；若常數(shù)，則為減函數(shù).③若函數(shù)與增減性相同，則為增函數(shù)；若函數(shù)與增減性相反，則為減函數(shù).2、周期性200/200優(yōu)選（1）定義對于函數(shù)，若存在正數(shù)，使得對內的任意一點都有，則稱為一個周期函數(shù)，而為的一個周期.易知若為的一個周期，則對任意的整數(shù)，亦為的周期.在的

7、所有周期中，我們把其中最小的正數(shù)稱為最小正周期.注：常見周期函數(shù)及其最小正周期：（2）性質①若以為最小正周期，則對任意的非零常數(shù)，仍然以為最小正周期，以為最小正周期.②若都以為周期，則仍以為周期（）.注意此時最小正周期有可能縮小，如都以為最小正周期，但以為最小正周期.3、奇偶性（1）定義對于函數(shù)，若對內的任意一點，均有（或），則稱為一個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）.200/200優(yōu)選（2）常見的奇偶函數(shù)①常見的奇函數(shù)：②常見的偶函數(shù)：（3）性質①偶函數(shù)的圖像關于軸對稱，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱②若均為奇函數(shù)（

8、或偶函數(shù)），則對任意的常數(shù)，仍為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）③若奇偶性相同，則為偶函數(shù)；若奇偶性相反，則為奇函數(shù)④對于任意定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)，、與均為偶函數(shù)；而為奇函數(shù)⑤任何定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)均可寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和,.4、有界性（1）定義：設為一個函數(shù)，若存在一個實數(shù)，使得對內任意的一點，均有，則稱函數(shù)在內有上界，并稱為函數(shù)在內的一個上界；若存在一個實數(shù)，使得對內任意的一點，均有，則稱函數(shù)在內有下界，并稱為函數(shù)在200/200優(yōu)選內的一個下界.若函數(shù)在內既有