第十二章 選 考 部 分(理)12-1幾何證明選講

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●課程標(biāo)準(zhǔn)一、幾何證明選講1．復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理．2．證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理．3．證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理. 4．了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會(huì)平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓)．5．通過觀察平面截圓錐面的情境，體會(huì)下面定理：定理在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點(diǎn)，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β(π與l平行，記β＝0)，則： (1)β>α，平面π與圓錐面的交線為橢圓；(2)β＝α，平面π與圓錐面的交線為拋物線；(3)β<α，平面π與圓錐面的交線為雙曲線．6．利用Dandelin雙球(這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐面均相切)證明上述定理(1)情況． 7．試證明以下結(jié)果：①在6中，一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為π′；②如果平面π與平面π′的交線為m，在5(1)中橢圓上任取一點(diǎn)A，該Dandelin球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e.(稱點(diǎn)F為個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e為離心率．) 8．探索定理中(3)的證明，體會(huì)當(dāng)β無限接近α?xí)r平面π的極限結(jié)果．9．完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告．報(bào)告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：(1)知識(shí)的總結(jié)．對(duì)本專題整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，對(duì)數(shù)學(xué)證明的認(rèn)識(shí)．(2)拓展．通過查閱資料、獨(dú)立思考，對(duì)某些內(nèi)容和應(yīng)用進(jìn)行進(jìn)一步探討．(3)學(xué)習(xí)本專題的感受、體會(huì)． 二、坐標(biāo)系與參數(shù)方程1．坐標(biāo)系(1)回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用．(2)通過具體例子，了解在平面直角坐標(biāo)系中伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．(3)能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化． (4)能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程．通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義．(5)借助具體實(shí)例(如圓形體育場(chǎng)看臺(tái)的座位、地球的經(jīng)緯度等)了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別． 2．參數(shù)方程(1)通過分析拋物運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與運(yùn)動(dòng)物體位置的關(guān)系，寫出拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義．(2)分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程．(3)舉例說明某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便，感受參數(shù)方程的優(yōu)越性．(4)借助教具或計(jì)算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開線)，了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程． (5)通過閱讀材料，了解其它擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過程；了解擺線在實(shí)際中應(yīng)用的實(shí)例(例如，最速降線是平擺線，橢圓是特殊的內(nèi)擺線——卡丹轉(zhuǎn)盤，圓擺線齒輪與漸開線齒輪，收割機(jī)、翻土機(jī)等機(jī)械裝置的擺線原理與設(shè)計(jì)，星形線與公共汽車門)；了解擺線在刻畫行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用． 3．完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告報(bào)告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：(1)知識(shí)的總結(jié)；對(duì)本專題整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想，思考本專題與高中其它內(nèi)容之間的聯(lián)系．(2)拓展．通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步探討參數(shù)方程、擺線的應(yīng)用．(3)學(xué)習(xí)本專題的感受、體會(huì)． 三、不等式選講1．回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式．2．理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 5．用向量遞歸方法討論排序不等式．6．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題．7．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，n為正整數(shù))．了解當(dāng)n為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立． 8．會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問題．能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值．9．通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．10．完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告．報(bào)告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：(1)知識(shí)的總結(jié)。對(duì)本專題介紹的不等式中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)背景進(jìn)行總結(jié)．(2)拓展．通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步探討不等式的應(yīng)用．(3)對(duì)不等式學(xué)習(xí)的感受、體會(huì)． ●命題趨勢(shì)這是新課標(biāo)的選修系列4的內(nèi)容．由各省自主確定命題的部分，命題方式可參照各省高考命題說明．1．幾何證明選講命題方式主要是將圓的幾何性質(zhì)與相似三角形知識(shí)結(jié)合，考查對(duì)基本定理的理解與掌握．2．坐標(biāo)系與參數(shù)方程命題主要會(huì)集中在①極直互化，②直線、圓、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程，③直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，④參普互化． 3．不等式選講命題重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、含絕對(duì)值的不等式、基本不等式、柯西不等式、不等式的證明和解不等式及數(shù)學(xué)歸納法．●備考指南1．幾何證明選講復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)放在平行截割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理，圓的切線判定與性質(zhì)定理，相交弦、切割線定理及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理上，命題主要考查應(yīng)用相關(guān)定理進(jìn)行推理計(jì)算，求線段長(zhǎng)、求角等． 2．坐標(biāo)系與參數(shù)方程，復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)是基本概念、原理的理解及簡(jiǎn)單的定理應(yīng)用．備考應(yīng)從以下幾方面著手：(1)會(huì)寫出曲線在伸縮變換下對(duì)應(yīng)的方程．(2)掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化關(guān)系式．(3)掌握常見的消參方法． (4)熟練掌握直線、圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義；掌握?qǐng)A錐曲線參數(shù)方程的形式；掌握求直線的極坐標(biāo)方程的方法(熟知過極點(diǎn)或垂直于極軸或垂直于極垂線的直線)；掌握?qǐng)A心在極點(diǎn)或在極軸(或極垂線)上且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程．(5)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想． 3．絕對(duì)值不等式結(jié)合不等式的性質(zhì)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)抓好落實(shí)，不等式的證明穿插于函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、平面向量等知識(shí)中，是知識(shí)交匯重點(diǎn)命題方向，應(yīng)重點(diǎn)復(fù)習(xí)．證明方法的復(fù)習(xí)重點(diǎn)放在比較、綜合、分析、放縮、數(shù)學(xué)歸納法．高考作為導(dǎo)向，可能會(huì)涉及柯西不等式和排序不等式的應(yīng)用，但難度不大，復(fù)習(xí)應(yīng)抓好基本定理的落實(shí)． 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.平行線截得比例線段定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．2．圓的幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系．難點(diǎn)：1.相似三角形的判定．2．與圓有關(guān)的的比例線段的證明思路． 知識(shí)歸納一、相似三角形1．相似三角形(1)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))．(2)判定①判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．判定定理2三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．判定定理3兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似． ②如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似．如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似．如果一個(gè)直角三角形的斜邊與一條直角邊和另一個(gè)直角三角形的斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．(3)性質(zhì)①性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比． ②性質(zhì)定理2相似三角形面積的比等于相似比的平方．相似三角形對(duì)應(yīng)角的平分線的比，外接圓直徑的比、周長(zhǎng)的比，內(nèi)切圓直徑的比、周長(zhǎng)的比都等于相似比．相似三角形外接圓面積的比，內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3．直角三角形的射影定理：若Rt△ABC斜邊AB上的高為CD，則CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB. 二、圓冪定理與圓錐截線1．圓的切線(1)切線判定定理　經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(2)切線性質(zhì)定理　圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)．②經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．推論1從圓外一點(diǎn)所引圓的兩條切線長(zhǎng)相等．推論2經(jīng)過圓外一點(diǎn)和圓心的直線平分從這點(diǎn)向圓所引兩條切線的夾角． (3)內(nèi)切圓、旁切圓　與一個(gè)三角形三邊都相切的圓，叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓；與三角形的一邊和其它兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓，叫做三角形的旁切圓．2．圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．3．圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半．推論1直徑(或半圓)所對(duì)的圓周角都是直角．推論2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．推論3等于直角的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑． 4．弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半．推論：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．5．圓冪定理(1)相交弦定理　圓的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．(2)切割線定理　從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．(3)割線定理　從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等． 圓冪定理　已知⊙(O，r)，通過一定點(diǎn)P，作⊙O的任一條割線交圓于A、B兩點(diǎn)，則PA·PB＝定值k.①當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，k＝PO2－r2，②當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，k＝r2－OP2，③當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，k＝0，通常把這里的定值k稱作點(diǎn)P對(duì)⊙O的冪．6．圓內(nèi)接四邊形(1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理①對(duì)角互補(bǔ)．②外角等于它的內(nèi)對(duì)角 (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓．推論　如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．7．平面與圓柱(錐)面的截線(1)圓柱面的直截面是圓，斜截面是橢圓． (2)球的切線與切平面①球的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②從球外任一點(diǎn)引該球的所有切線長(zhǎng)相等．③一個(gè)球的切平面垂直于過切點(diǎn)的半徑．過球上任一點(diǎn)的球的所有切線都在過該點(diǎn)的球的切平面內(nèi)．(3)Dandelin雙球與圓柱面的斜截面的兩個(gè)切點(diǎn)，為斜截面截圓柱面所得橢圓的焦點(diǎn)． 在空間給定一個(gè)圓錐面S，軸線與母線的夾角為α，任取一個(gè)不通過S的頂點(diǎn)的平面σ，設(shè)其與軸線的夾角為β(σ與軸平行時(shí)，規(guī)定β＝0)，則①β>α?xí)r，平面σ與圓錐面的交線為橢圓②β＝α?xí)r，平面σ與圓錐面的交線為拋物線③β<α?xí)r，平面σ與圓錐面的交線為雙曲線Dandelin雙球與平面σ的兩個(gè)切點(diǎn)為σ截圓錐面所得截線的焦點(diǎn)．特別地，當(dāng)β＝α?xí)r，只存在一個(gè)球與圓錐面及平面σ均相切，此切點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)． 圓錐曲線的統(tǒng)一定義除了圓之外，每一條圓錐曲線都是平面上到某個(gè)定點(diǎn)F和到某條定直線l的距離的比值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．誤區(qū)警示1．應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，對(duì)應(yīng)量必須找準(zhǔn)(對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊上的高、中線，對(duì)應(yīng)的角平分線等等)，牢牢把握對(duì)應(yīng)角對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角． 2．判定兩三角形相似時(shí)，可以用三邊對(duì)應(yīng)成比例，也可以用兩角對(duì)應(yīng)相等(只要兩角對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等)．但兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，必須有夾角相等的條件．3．等弧對(duì)等弦、對(duì)等圓心角、對(duì)等圓周角、對(duì)等弦切角的前提是同圓或等圓．4．相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理統(tǒng)稱為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長(zhǎng)線若相交，各弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等． 當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時(shí)為割線定理，兩交點(diǎn)重合時(shí)為切線，一條上兩點(diǎn)重合時(shí)為切割線定理，兩條都重合時(shí)為切線長(zhǎng)定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線段是指哪兩條． 1．輔助線作法：幾何證明題的一個(gè)重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長(zhǎng)線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線方法． 3．同一法：先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立． [例1]如圖，DE∥BC，EF∥DC，求證：AD2＝AF·AB. 如圖，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)AC的長(zhǎng)為________； 分析：由EF∥CD可知，△AEF∽△ADC，或可用平行線分線段成比例定理；由∠AFE＝∠B可知，△ACD∽△ABC. 如圖所示，在?ABCD中，BC＝24，E、F為BD的三等分點(diǎn)，則BM－DN＝()A．6B．3C．2D．4 解析：∵E、F為BD的三等分點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，∴M為BC的中點(diǎn)，連CF交AD于P，則P為AD的中點(diǎn)，由△BCF∽△DPF及M為BC中點(diǎn)知，N為DP的中點(diǎn)，∴BM－DN＝12－6＝6，故選A.答案：A 分析：本題中有眾多的垂直關(guān)系，而待證式為比例線段，故可考慮用射影定理試求．應(yīng)用射影定理時(shí)，務(wù)必先考慮產(chǎn)生AB、AC、BE、CF，再考慮構(gòu)造待證式． 在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，則AC＝________.分析：本題所給條件為垂直和相等關(guān)系，求線段AC的長(zhǎng)，故可把AC作為未知數(shù)，利用射影定理構(gòu)造方程求之．解析：在△ABC中，設(shè)AC＝x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根據(jù)射影定理得，AC2＝FC·BC，∴BC＝x2. (2010·北京順義一中?？?如圖，已知⊙O的直徑AB＝5，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝4，過點(diǎn)C作⊙O的切線l，過點(diǎn)A作l的垂線AD，垂足為D，則CD＝________. [例5]如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．(1)證明A、P、O、M四點(diǎn)共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大?。?解析：(1)連結(jié)OP、OM.∵AP與⊙O相切于點(diǎn)P，∴OP⊥AP.∵M(jìn)是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，∴OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓． (2)∵A、P、O、M四點(diǎn)共圓，∴∠OAM＝∠OPM.∴∠OAM＋∠APM＝∠OPM＋∠APM＝∠OPA＝90°. (2010·北京理)如圖，⊙O的弦ED，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，則DE＝______；CE＝________. 點(diǎn)評(píng)：可以由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明△ADB∽△ACE，求得DE，再結(jié)合BD⊥AE，利用勾股定理求BD，再求CE. [例6]已知：如右圖，AB為⊙O的直徑，過B點(diǎn)作⊙O的切線，C為切線上的一點(diǎn)，連結(jié)OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D.(1)求證：CE2＝CD·CB；(2)若AB＝BC＝2，求CD的長(zhǎng)． 分析：欲證線段長(zhǎng)度的積式即比例式，可考慮相似三角形，由題設(shè)條件直徑和切線可得角相等，關(guān)鍵是把所給線段、角歸到兩個(gè)三角形中．解析：(1)連結(jié)BE. (2010·寧夏診斷)如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E、D，連接EC、CD. 解析：(1)證明：如圖，連接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切線． [答案]C A．45°B．60°C．90°D．135°[答案]C 3．自圓O外一點(diǎn)P引圓的切線，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過M引圓的割線交圓于B，C兩點(diǎn)，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，則∠MPB的大小為()A．10°B．20°C．30°D．40°[答案]B 二、填空題4．如圖所示，BD為圓O的直徑，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，則AB的長(zhǎng)為________． 1．(2010·廣東羅湖區(qū)調(diào)研)如圖AB是⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PC＝4，PB＝2.則⊙O的半徑等于________.[答案]3[解析]∵PC2＝PB·PA，∴16＝2×(2＋2r)，∴r＝3. 2．(北京延慶縣?？?已知⊙O的直徑AB＝13cm，C為圓周上一點(diǎn)(不同于A、B點(diǎn))，CD⊥AB于D，CD＝6cm，則BD＝________cm.[答案]4或9[解析]∵C在圓周上，∴AC⊥BC，又CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD，∴36＝(13－BD)·BD，∴BD＝4或9. 3．(2010·茂名市?？?如圖所示，已知圓O直徑為，AB是圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝，過點(diǎn)B的圓O的切線交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則DA＝________.[答案]3[解析]∵AB為直徑，∴∠ACB為直角， [答案]130°[解析]由切割線定理知PA2＝PB·PC， [答案]4[解析]如圖，∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵∠CAP＝30°，OA＝OC，∴∠OCA＝30°，∴∠P＝30°，∴OP＝2OC，設(shè)OC＝r，則PA＝3r，PB＝r，∵PC2＝PA·PB，∴12＝3r2，∴r＝2，∴AB＝2r＝4. 6．(2010·深圳市調(diào)研)如圖，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則線段CD的長(zhǎng)為________． 9．(2010·廣東省東莞市)如圖，⊙O的直徑AB＝6cm，P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連結(jié)AC，若∠CPA＝30°，則PC＝________. 11．(2010·陜西寶雞市)如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點(diǎn)E，AE平分∠CAB，且AE＝2，則AC＝________. 12．(2010·吉林省調(diào)研)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，且DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F. [解析](1)證明：連結(jié)OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，∴OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD為半徑，∴DE是⊙O的切線．(2)過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則有∠DOH＝∠CAB，cos∠DOH＝cos∠CAB 13．(2010·延邊州檢測(cè))如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，CD＝2，DE⊥AB，垂中為E，且E是OB的中點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)． [解析]連結(jié)OD，則OD⊥DC，