第三章 數(shù)值計算方法

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《計算機在冶金中的應(yīng)用》計算機在稀土工程中的應(yīng)用 第三章數(shù)值計算方法 第3章數(shù)值計算方法計算方法（也稱數(shù)值分析、數(shù)值求解）：研究求解數(shù)學(xué)模型的算法及相關(guān)理論，它是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。在工程實際和科學(xué)研究中，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)模型很難求得其解析解，或根本就沒有解析解，只能用計算機求出其數(shù)值解。從應(yīng)用角度來看，這也就足夠了。在數(shù)值求解中，常使用如下技術(shù):1.迭代求解技術(shù)2.連續(xù)問題離散化技術(shù)3.離散數(shù)據(jù)連續(xù)化技術(shù)評價算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)：1.速度:速度涉及計算量、算法收斂速度等2.精度:涉及計算誤差 3-1誤差與有效數(shù)字?jǐn)?shù)值分析，常常給人一種不嚴(yán)格、不準(zhǔn)確的感覺。實際上，誤差是不可避免的，近似是正常的，根本不存在絕對的嚴(yán)格和準(zhǔn)確。問題是我們?nèi)绾畏治稣`差，控制誤差，保證計算結(jié)果誤差在允許范圍內(nèi)。 1.誤差的來源在用數(shù)模處理實際問題時，誤差來源主要有以下四個方面：模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差(1)模型誤差：模型的建立往往要忽略一些次要因素，所以模型的解與實際結(jié)果必然存在一定的誤差，這類誤差稱為模型誤差；(2)觀測誤差：數(shù)學(xué)模型常常要用到一些參量數(shù)據(jù)，如溫度、初始濃度等，這些數(shù)據(jù)又往往是由觀測獲得，由觀測數(shù)據(jù)帶來的誤差稱為觀測誤差；(3)截斷誤差：許多函數(shù)常用無限級數(shù)表示，而用計算機進行計算時，只能取前有限項，由此引起的誤差稱為截斷誤差；比如函數(shù):(4)舍入誤差：由于計算機表示的實數(shù)有效位數(shù)有限，超出部分只能按四舍五入法處理，這部分誤差稱為舍入誤差。盡管一次舍入誤差極小，但當(dāng)運算次數(shù)極多時，誤差的積累也可能不可忽視。 2.絕對誤差與相對誤差設(shè)x*為某數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確值，x為近似值絕對誤差：若稱為絕對誤差限(2)相對誤差：當(dāng)準(zhǔn)確值未知時，可用近似值代替：稱為相對誤差限 3.有效數(shù)字設(shè)近似值x的絕對誤差限不大于某一位上的半個單位，且從該位到的第一非零數(shù)字位共有n位，則近似值x有n位有效數(shù)字。設(shè)數(shù)據(jù)近似值為：0.0276521035712652若絕對誤差限為：0.00006，則有效數(shù)字有3位，即0.0276;若絕對誤差限為：0.00004，則有效數(shù)字有4位，即0.02765;0.00006<0.0005=0.5×10-30.00004<0.00005=0.5×10-4相對誤差與有效數(shù)字位數(shù)，在最保守的情況下有如下關(guān)系：|相對誤差| 3-2數(shù)值計算的誤差估計數(shù)值計算中誤差的產(chǎn)生與傳播的情況非常復(fù)雜，對誤差估計也比較困難，本節(jié)主要介紹采用函數(shù)的泰勒(Taylor)級數(shù)展開來估計誤差，這是一種常用方法。 1.函數(shù)運算的誤差傳播估計同理，對多元函數(shù) 2.算術(shù)運算的誤差傳播估計設(shè)兩個近似數(shù)x1,x2的誤差限分別為，則其兩個數(shù)的四則運算誤差，可用前述多元函數(shù)運算誤差估計公式計算： 3-3數(shù)值計算中的一些基本原值在數(shù)值計算中，為使誤差在傳播過程中不增大，應(yīng)遵循一些基本原則:1.避免絕對值小的數(shù)作除數(shù)2.避免兩個相近的數(shù)據(jù)相減3.防止大數(shù)“吃”小數(shù)4.盡量減少計算工作量5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法 1.避免絕對值小的數(shù)作除數(shù)由除法的誤差估計公式可知，除數(shù)的絕對值越小，商的絕對誤差越大。所以要盡量避免采用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)。 2.避免兩個相近的數(shù)據(jù)相減當(dāng)兩個相近的數(shù)據(jù)相減時，差的有效數(shù)字位數(shù)大大減少，相對誤差大大增加。相對誤差為了避免兩個相近的數(shù)據(jù)直接相減，常用恒等式將其變形后計算，如：絕對誤差 3.防止大數(shù)“吃”小數(shù)一個絕對值很大的數(shù)與一個絕對值很小的數(shù)相加時，很容易發(fā)生大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象。這是因為計算機表示的實數(shù)有效數(shù)字位數(shù)有限所至。當(dāng)絕對值很小的數(shù)個數(shù)極多時，對計算結(jié)果的影不可忽視。在處理這類累加問題時，應(yīng)按絕對值從小到大的順序進行累加。 4.盡量減少計算工作量在考慮算法時應(yīng)注意盡量減小運算次數(shù)，計算機完成算法運算所花費的時間與算術(shù)運算量有關(guān)，主要取決于乘法、除法的運算次數(shù)，減少乘法、除法的運算次數(shù)，不僅縮短了解題時間，而且誤差的積累相應(yīng)也要小一些。比如，多項式求和可用兩種算法處理：(1)直接累加(2)秦九韶算法共進行n次乘法運算共進行n(n+1)/2次乘法運算 5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法對同一問題，采用不同數(shù)值求解算法，對計算結(jié)果的誤差影響也不一樣。舍入誤差對計算結(jié)果影響不大的算法稱為數(shù)值穩(wěn)定算法。實際上，分析一個算法在計算過程中是否穩(wěn)定，就是考察其誤差是否增大。例：計算定積分經(jīng)推導(dǎo)，有下式成立： 算法1:正向遞推由此可見，該遞推算法隨n的增大，誤差傳播迅速增大，是不穩(wěn)定算法。由正向遞推計算I20得 算法2:逆向遞推由：有：按In估計式：?。喊吹媚嫦蜻f推 3-4非線性方程求解非線性方程求解是科學(xué)與工程中的常見問題。通常將非線性方程表示為如下形式：若函數(shù)為多項式時，即：則稱為代數(shù)方程，否則稱為超越方程。對于高于4次的代數(shù)方程，不存在通用求解公式，而對超越方程，一般很難有解析解。所以數(shù)值求解就是一種非常實用和有效的方法。 用計算機求解非線性方程的步驟若方程有多個解，可先對方程按步長法進行根隔離，找出隔根區(qū)(區(qū)間內(nèi)只有一個解);(2)利用迭代法求解。在該區(qū)間內(nèi)確定一合適的初值x0，按某種算法產(chǎn)生一個近似解序列，該序列收斂于精確解x* 2.二分法a1b1x1a0b0x0設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，采用二分法求解可按下列步驟進行：(1)取近似解x為區(qū)間中點值，計算f(x);(2)若,則解在區(qū)間,調(diào)整(3)若,則解在區(qū)間,調(diào)整反復(fù)循環(huán)執(zhí)行，直至或 二分法收斂速度與誤差因每次二分后，取有根區(qū)間的中間值為近似解：與準(zhǔn)確解的誤差為： 例：銅閃速熔煉反應(yīng)塔產(chǎn)物溫度計算熱收入項熱支出項熱支出項計算公式入爐物料顯熱銅锍顯熱化學(xué)反應(yīng)熱爐渣顯熱重油燃燒熱煙氣顯熱塔散熱經(jīng)驗數(shù)據(jù)通過求解方程：熱收入+熱支出=0，即可求得溫度T。現(xiàn)已知某生產(chǎn)時期熱平衡方程如下，求溫度T： 3.簡單迭代法將方程改寫為由此得反復(fù)迭代，直至相鄰兩次解的相對誤差小于給定精度即可。如前面的例子可改寫為：(也稱不動點迭代法) 簡單迭代的誤差與收斂兩式相減，并由中值定理有：若：為小于1的正數(shù)則：即：所以，只要其導(dǎo)數(shù)的絕對值小于1，可保證收斂。 簡單迭代的加速當(dāng)導(dǎo)數(shù)g’(x)變化不大時，近似有：為加快收斂速度，可預(yù)先對近似解進行補嘗：移項后，兩邊再減 4.牛頓迭代法牛頓迭代法其實質(zhì)是將非線性函數(shù)近似為線性函數(shù)來處理，即在近似解xn處，按泰勒級數(shù)展開，忽略高階項，得線性方程：由此得牛頓迭代公式： 3-5線性方程組數(shù)值求解消元法迭代法雅可比法高斯-塞德爾法松弛法約當(dāng)法高斯法追趕法 1.雅可比法（以三元線性方程組為例）直至相鄰兩次解誤差小于給定精度 2.塞德爾法由于塞德爾法總是使用最新的迭代解進行運算，所以其收斂速度高于雅可比法。 3.松馳法無論是雅可比法，或是塞德爾法，都可使用松馳法進一步加速：通常取，此時稱為超松馳迭代，具體值取多大，通常由試算確定。 4.迭代法求解舉例 5.消元法常用的消元法主要有以下三類：約當(dāng)法消元法高斯消元法（約當(dāng)法的改進算法）追趕法（針對三對角型方程組）實用中使用最多的是高斯消元法。 6.約當(dāng)消元法約當(dāng)消元法的步驟：將第一個方程x1的系數(shù)化為1,并從其余方程中消除x1;(2)將第二個方程x2的系數(shù)化為1,并從其余方程中消除x2;……依此類推，直至每一個方程僅含一個變元為止?？梢宰C明，對于n元線性方程組的求解，所用乘法次數(shù)為： 約當(dāng)消元法實例 5.高斯消元法高斯(Gauss)消元法是約當(dāng)法的改進，目的是為了減少計算量。高斯法對子方程組不斷消元降階，直到最后一個方程僅含一個變元，形成三角方程組，最后通過回代求出其它變元的解。 6.高斯消元過程舉例 回代求解逐步消元7.求解步驟