數(shù)學(xué)常識(shí)——自然數(shù)

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1、數(shù)學(xué)知識(shí)常識(shí)2：自然數(shù)用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼（0，）1，2，3，4，……所表示的數(shù)（有爭(zhēng)議）。表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由1（0，有爭(zhēng)議）開始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體。概述自然數(shù)從0開始還是從1開始飽受爭(zhēng)議。從數(shù)論上來講，自然數(shù)從1開始，在集合論中，自然數(shù)從0開始。我國中小學(xué)教材中自然數(shù)是從0開始，《新華字典》中自然數(shù)是從1開始?？梢灾刚麛?shù)或非負(fù)整數(shù)，在數(shù)論通常用前者，而集合論和計(jì)算機(jī)科學(xué)則多數(shù)使用后者。[1]數(shù)學(xué)術(shù)語自然數(shù)集是全體非負(fù)整數(shù)組成的集合，常用N來表示。自

2、然數(shù)有無窮無盡的個(gè)數(shù)?！酒匆簟縵ìránshù【英譯】naturalnumber[2]一般概念自然數(shù)是一切等價(jià)有限集合共同特征的標(biāo)記。注：整數(shù)包括自然數(shù)，所以自然數(shù)一定是整數(shù)，且一定是非負(fù)整數(shù)。但相減和自然數(shù)的基本要求相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不總是成立的。用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼，1，2，3，4，……所表示的數(shù)。表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮集體。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除

3、法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。（序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義）　自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個(gè)元素，記作1。②N中每一個(gè)元素都能在N中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。③1是0的后繼者。④0

4、不是任何元素的后繼者。⑤不同元素有不同的后繼者。⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N?；鶖?shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù)。這樣，所有單元素集{x}，{y}，{a}，等具有同一基數(shù)，記作1。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等。自然數(shù)的加法、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。自然數(shù)

5、在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數(shù)。自然數(shù)是人類歷史上最早出現(xiàn)的數(shù)，自然數(shù)在計(jì)數(shù)和測(cè)量中有著廣泛的應(yīng)用。人們還常常用自然數(shù)來給事物標(biāo)號(hào)或排序，如城市的公共汽車路線，門牌號(hào)碼，郵政編碼等。自然數(shù)是整數(shù)（自然數(shù)包括正整數(shù)和零），但整數(shù)不全是自然數(shù)，例如：-1-2-3......是整數(shù)而不是自然數(shù)。自然數(shù)是無限的。全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集，即自然數(shù)集。）在數(shù)物體的時(shí)候，數(shù)出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然數(shù)。自然數(shù)有數(shù)量、次序兩層含義，分為基數(shù)、序數(shù)?；締挝唬?計(jì)數(shù)單位：個(gè)

6、、十、百、千、萬、十萬......總之，自然數(shù)就是指大于等于0的整數(shù)。當(dāng)然，負(fù)數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等就不算在其內(nèi)了。嚴(yán)格定義這個(gè)命題被稱為皮亞諾算術(shù)公理，該公理聲明了自然數(shù)集的存在性。其中，第二條中聲明的單射被稱為后繼映射，是我們生活中所習(xí)慣的“”。第三條則聲稱，存在一個(gè)數(shù)是自然數(shù)的起始點(diǎn)，它不是任何數(shù)的后繼。第四條則是我們所熟知的歸納假設(shè)，它使得在自然數(shù)集中數(shù)學(xué)歸納法的成立，也是對(duì)自然數(shù)集形態(tài)的一種限定。因?yàn)榧词故怯邢藜?，也存在環(huán)形映射滿足第二條（自單射），任何無限集都滿足第二和第三條，而只有自然數(shù)集才能滿足所

7、有這四條的限定。由第四條，我們就可以使用數(shù)學(xué)歸納法：來證明自然數(shù)集中有關(guān)的命題。性質(zhì)1.對(duì)自然數(shù)可以定義加法和乘法。其中，加法運(yùn)算“+”定義為：a+0=a；a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的后繼者。如果我們將S(0)定義為符號(hào)“1”，那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)，即，“+1”運(yùn)算可求得任意自然數(shù)的后繼者。同理，乘法運(yùn)算“×”定義為：a×0=0;a×S(b)=a×b+a自然數(shù)的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。2.有序性。自然數(shù)的有序性是指，自然數(shù)可以從0開始，

8、不重復(fù)也不遺漏地排成一個(gè)數(shù)列：0，1，2，3，…這個(gè)數(shù)列叫自然數(shù)列。一個(gè)集合的元素如果能與自然數(shù)列或者自然數(shù)列的一部分建立一一對(duì)應(yīng)，我們就說這個(gè)集合是可數(shù)的，否則就說它是不可數(shù)的。3.無限性。自然數(shù)集是一個(gè)無窮集合，自然數(shù)列可以無止境地寫下去。對(duì)于無限集合來說“，元素個(gè)數(shù)”的概念已經(jīng)不適用，用數(shù)個(gè)數(shù)的方法比較集合元素的多少只適用于有限集合。為了比較兩個(gè)無限集合的元素的多少，集合論的創(chuàng)立者德國數(shù)學(xué)家康托爾引入了一一