希爾伯特23項問題

《希爾伯特23項問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。

1、編輯詞條希爾伯特問題　　在1900年8月巴黎國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學問題都可以解決的信念，對于數(shù)學工作者是一種巨大的鼓舞?！　∠柌氐?3個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學基礎問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)

2、和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學分析?！　。?）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題?！　?874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學家科恩（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決?！　。?）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性?！　W氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出

3、否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性?！　。?）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。　　問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決?！　。?）兩點間以直線為距離最短線問題?！　〈藛栴}提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決?！　。?）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）?！　∵@一個問題簡稱連續(xù)

4、群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果?！　。?）對數(shù)學起重要作用的物理學的公理化?！　?933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘：髞?，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑?！　。?）某些數(shù)的超越性的證明?！　⌒枳C：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如，2√2和eπ）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的

5、施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法?！　。?）素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題?！　∷財?shù)是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學家陳景潤?！　。?）一般互反律在任意數(shù)域中的證明?！　?921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本

6、解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中?！　。?0）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？　　求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價值的副產(chǎn)品，其中不少和計算機科學有密切聯(lián)系?！　。?1）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二

7、次型論?！　〉聡鴶?shù)學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國數(shù)學家魏依（A.Weil）取得了新進展。　?。?2）類域的構(gòu)成問題?！　〖磳⒇悹栍蛏系目肆_內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠?！　。?3）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性?！　∑叽畏匠蘹7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續(xù)的實函數(shù)