《余弦定理》示范公開課教案【高中數(shù)學必修第二冊北師大】.docx

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《余弦定理》教案◆教學目標1．在創(chuàng)設的問題情境中，發(fā)現(xiàn)余弦定理的內容，推證余弦定理，并運用余弦定理解簡單的三角形；2．通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，養(yǎng)成創(chuàng)新意識和具備觀察與邏輯思維能力，體會用向量作為數(shù)形結合的工具，將幾何問題轉化為代數(shù)問題．◆教學重難點◆重點：探究和證明余弦定理的過程；理解掌握余弦定理的內容；初步應用余弦定理．難點：利用向量法證明余弦定理的思路．◆教學過程一、新課導入BCA想一想：如圖，某隧道施工隊為了開道一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度．工程技術人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C邊的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角，最后通過計算求出山腳的長度．想一想：這個實際問題可以轉化為怎樣的數(shù)學問題？答案：已知三角形的兩邊和其夾角，求三角形的另外一邊．設計意圖：創(chuàng)設情境，使學生體會解三角形在實際生活中的廣泛應用．二、新知探究問題1：在Rt△ABC中，當∠C=90°時，有.若a，b邊的長短不變，變換∠C的大小時，與有什么大小關系呢？追問1：如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，保證AC與BC的長度不變，旋轉BC使得∠C<90°，此時與滿足什么大小關系？答案：由圖可得AB的長度變小，所以． 追問2：那么用上述方法試著探究當∠C>90°，與有什么大小關系？答案：如圖作Rt△ABC，∠C=90°，保證AC與BC的長度不變，旋轉BC使得∠C>90°，由于AB的長度變大，所以．cabHCBA問題2：在上一個問題中，我們已經(jīng)知道，當∠C≠90°時，，那么與到底有什么樣的關系呢?追問1：如圖在任意△ABC中，當∠C為銳角時，過點A作AH⊥BC于H，那么如何用a，b與∠C來表示△AHB的三邊長？答案：在Rt△AHC中，，，所以．追問2：請用上述關系式表達Rt△AHB的三邊關系．答案：在Rt△AHB中，，即．所以當∠C為銳角時，△ABC的三邊具有的關系．cabHCBA追問3：當∠C為鈍角時，△ABC的三邊具有什么樣的關系？答案：推導步驟如下：第一步：如圖作鈍角△ABC中，∠C為鈍角，過點B作BH⊥AC，交AC的延長線于點H．第二步：由圖可得△ACB是兩個直角三角形之差，在Rt△ABH中，；在Rt△BCH中，∠BCH=π-C，，．第三步：所以化為 因為，所以我們也可以得到．追問4：那么當∠C=90°時，這個等式成立嗎？答案：成立．因為當∠C=90°時，cosC=0，此時該等式滿足勾股定理．綜上可得，在任意△ABC中，滿足，我們輪換∠A，∠B，∠C的位置可以得到，，這就是三角形中邊角關系的重要定理：余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍．問題3：你能用向量的方法證明余弦定理嗎？答案：在任意△ABC中，．即．追問1：試著建立直角坐標系，用坐標法進行證明．(a,0)(bcosC,bsinC)yxabcCBA答案：如圖作任意△ABC，以C為原點建立平面直角坐標系．第一步：由圖可得C(0，0)，A(bcosC，bsinC)，B(a，0)；第二步：利用兩點間距離公式得，即．問題4：余弦定理可以解哪些類型的三角形？答案：根據(jù)， 我們不難發(fā)現(xiàn)，余弦定理可以解已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊的題型．追問1：如果只知道三邊長，是否能求出三角形的內角？答案：通過公式變形，我們可以得到，，，所以余弦定理還可以解決已知三邊長，求三角形的內角的問題．追問2：所以如何根據(jù)三邊定量判斷三角形形狀？答案：在△ABC中，我們記最長的邊為c，若，△ABC是銳角三角形；若，△ABC是直角三角形；若，△ABC為鈍角三角形．想一想：前面的四個問題推導出了什么結果？（1）余弦定理及其推論；（2）余弦定理的作用；（3）余弦定理的結構特點．總結：，，余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍，即余弦定理是勾股定理的推廣．利用余弦定理，可以由三角形的三條邊，求出它三個角的大小．，，．設計意圖： 在突破定理證明難點時，通過新舊知識的連接點設問，搭建知識的腳手架，讓學生展開聯(lián)想，力求尋找合理的知識方法，進行自主性的活動與嘗試，進一步拓展學生的知識鏈.比如解三角形處理的是三角形的邊長、角度等度量問題，屬于代數(shù)范疇，而三角形的邊、角是幾何概念，因此自然會聯(lián)想到解析法，即把幾何中的基本元素——點，賦予代數(shù)含義——坐標，從而使數(shù)和幾何元素實現(xiàn)了互相轉化.另外一個既有代數(shù)屬性，又有幾何特征的知識——向量，特別是向量的數(shù)量積打通了三角形邊角的數(shù)形聯(lián)系，是數(shù)與形的完美結合，是化歸與轉化思想的體現(xiàn)，方法簡潔而自然.【概念鞏固】思考:判斷正誤并說明理由？（1）)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，因此，它適用于任何三角形．（）（2）在△ABC中，若，則△ABC一定為鈍角三角形．（）（3）在△ABC中，已知兩邊和其夾角時，△ABC不唯一．（）（4）在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例．（）（5）在△ABC中，已知∠A=60°，b=2，c=1，則a=3．（）分析：判斷上述問題的正誤需要熟練掌握余弦定理的公式和應用，并且運用到實際問題中．答案:（1）正確，余弦定理適用于直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形，所以適用于一切三角形；（2）正確，由余弦定理可知，所以A為鈍角，故△ABC為鈍角三角形；（3）錯誤；已知三角形兩邊和其夾角時，余弦定理求第三邊只有一個解，所以三角形唯一；（4）正確，余弦定理的公式可以推導出勾股定理；（5）正確．，故．三、應用舉例例1.如圖有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點是O．甲乙兩人同時從點O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h，45km/h．3h后兩人相距多遠？(精確到0.1km)分析：已知三角形兩邊和其夾角時，利用余弦定理直接求第三邊． 解：經(jīng)過3h，甲到達點P，,乙到達點Q，，在△OPQ中，依余弦定理，得．因此，3h后兩人相距16.4km．例2.如圖是古希臘數(shù)學家特埃特圖斯(Theaetetus，約前417-前369)用來構造無理數(shù)2，3，5，…的圖形，試計算圖中線段BD的長度及∠DAB的大小(長度精確到0.1，角度精確到1°)．分析：已知三角形兩邊和其夾角時，利用余弦定理求第三邊；已知三邊求任意一個角的余弦值．解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°，．所以．在△ABD中，AB=1，，，所以． 例3.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知A是銳角，且．（1）若，求實數(shù)m的值；（2）若，求△ABC面積的最大值．分析：利用余弦定理邊角的互化關系求解參數(shù)；余弦定理和基本不等式的結合可以快速地解決面積最值問題，前提是需要推導三角形面積用兩邊及其夾角的表達式．解：由于A是銳角，且，得，．（1）可變形為．依據(jù)余弦定理,可知，即．cbhCBA所以m=1.（2）第一步：用兩邊及其夾角來表示三角形的面積.如圖所示，在△ABC中，h為AB邊上的高，則，所以.第二步：因為，所以，即．故．即所求△ABC面積的最大值是．設計意圖：數(shù)學的思維不是靠大量題目形成，而是通過一定的思辨、頓悟形成的.通過例題的講解，使學生感覺到讓學生懂得學習新知識的意義，學會運用新知識解決問題.方法總結：余弦定理的推論是解題的需要，即變形之后解決有關“已知三邊長，解三角形”的問題更直接；也是認識的需要，即借助推論的表達式可以清楚地看到其中蘊含的邊角的互化關系. 四、課堂練習1．以4、5、6為邊長的三角形一定是________三角形．A.銳角B.直角C.鈍角D.無法確定2．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，b=()．A.B.C.19D.43．在△ABC中，內角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是多少？4．△ABC中，若∠A＝60°，b＝16，此三角形面積S=220，則a的值為()．A.7B.25C.55D.49參考答案：1．由題意可知長為6的邊所對的內角最大，設這個最大角為α，則cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.故選A．2．在△ABC中，因為A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝82－2×15－2×15×＝19.所以b＝．故選B．3．由題可得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 所以ab＝6，所以S△ABC＝absin＝×6×＝．4．由題意，得S＝220＝bcsinA＝×16×c×，所以c＝55.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝162＋552－2×16×55×＝2401，所以a＝49．故選D．五、課堂小結1.余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角入手，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討論的數(shù)學思想；2.用向量方法證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用以及數(shù)形結合數(shù)學思想的應用；3.余弦定理表述了三角形的邊與對角的關系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內角的兩類問題，還可以解決有關三角形面積或者周長的最值問題．六、布置作業(yè)教材第110頁練習第1，2，3題．