《平面與平面平行(2)》示范公開(kāi)課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.4.2平面與平面平行(2)◆教學(xué)目標(biāo)1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，理解平面與平面平行的判定定理，并會(huì)初步運(yùn)用；2.能運(yùn)用有關(guān)平行的判定定理和性質(zhì)定理，論證線線平行、線面平行、面面平行；3.讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生抽樣概括、推理論證等素養(yǎng)．◆教學(xué)重難點(diǎn)◆教學(xué)重點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理．教學(xué)難點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用．◆教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入回顧：如何判斷一條直線與一個(gè)平面平行？答案：線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是要證“線面平行”，先證“線線平行”.追問(wèn)1：那么如何證明兩個(gè)平面平行呢？回答：從定義看，證明兩平面無(wú)交點(diǎn)即可.類比線面平行的判定，是否可以通過(guò)“線面平行”來(lái)證明“面面平行”？接下來(lái)我們就一起來(lái)探討一下.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)線面平行的判定定理，引出面面平行的判定.先引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，后面再進(jìn)行探究，啟發(fā)學(xué)生思考.二、新知探究問(wèn)題1：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行嗎？ 探究：長(zhǎng)方體中，A′D′∥平面ABCD，那么過(guò)A′D′的平面與平面ABCD平行嗎？如圖，平面A′B′C′D′∥平面ABCD，平面A′BCD′∩平面ABCD=BC.答案：不一定.問(wèn)題2：一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行嗎？答案：一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能平行，也可能相交，故要分情況討論追問(wèn)1：當(dāng)兩條直線平行時(shí)，兩平面是否平行？（借助長(zhǎng)方體探究）答案：①如圖，長(zhǎng)方體中，A′D′，B′C′∥平面ABCD，A′D′∥B′C′時(shí)，平面A′B′C′D′∥平面ABCD；②如圖，長(zhǎng)方體中，A′D′，EF∥平面ABCD，A′D′∥EF時(shí)，平面A′EFD′∩平面ABCD；綜上所述，兩條直線平行時(shí)，兩平面可能平行，也可能相交.追問(wèn)2：當(dāng)兩條直線相交時(shí)，兩平面是否平行？（借助長(zhǎng)方體探究）答案：平行.追問(wèn)3：綜合上述探究過(guò)程，試猜想如何判定兩個(gè)平面平行？答案：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.下面我們證明此猜想的正確性.已知：a?α，b?α，a∩b=A，a∥β，b∥β.求證：α∥β. 證明：假設(shè)α∩β=c，則a，b與c相交或平行．①若a，b與c都相交，∴a，b與β相交，與a∥β，b∥β矛盾．②若a，b中一條與c相交，另一條與c平行，不妨設(shè)a與c相交，b∥c．∴a與β相交，與a∥β矛盾．綜上所述，假設(shè)不成立，故α∥β.面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.符號(hào)語(yǔ)言：若a?α，b?α，a∩b=A，a∥β，b∥β，則α∥β.注意：此定理共三個(gè)條件，在應(yīng)用時(shí)缺一不可，即：①兩條線都在面內(nèi)，“a?α，b?α”；②兩線相交，“a∩b=A”；③兩線與另一平面平行，“a∥β，b∥β”.在空間中，常用此定理來(lái)由“線面平行”來(lái)證明“面面平行”.至此，“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”之間的相互推導(dǎo)就已學(xué)完了，具體如下：判斷：下列命題是否正確？（1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則α∥β；（2）若平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，則α∥β；（3）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；（4）兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線，這兩個(gè)平面平行；（5）過(guò)已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面；（6）一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行.答案：（1）錯(cuò)誤.沒(méi)有說(shuō)明兩條直線相交，條件不足，面面平行的判定定理不成立； （2）錯(cuò)誤.線不在多，重在相交，無(wú)數(shù)條直線并不能保證有相交的兩條直線，判定定理不成立；（3）錯(cuò)誤.平行的傳遞行只能在線線之間傳遞或面面之間傳遞，不可在線面之間傳遞；（4）錯(cuò)誤.兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線，那這兩個(gè)平面可能平行也可能相交；（5）錯(cuò)誤.平面外的一條直線可能與已知平面相交，此時(shí)就不能作出與已知平面平行的平面.（6）正確.任何一條直線則必能找到相交的兩條直線，面面平行的判定定理成立.思考：“平面α內(nèi)存在著不共線的三點(diǎn)到平面β的距離均相等”是“α∥β”的什么條件？答案：必要不充分條件.理由如下：分別討論必要性與充分性.①必要性顯然成立．當(dāng)α∥β時(shí)，平面α內(nèi)必存在著不共線的三點(diǎn)到平面β的距離均相等.②充分性不成立．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，平面AA′C′C中有不共線的三個(gè)點(diǎn)A、A′、C到平面BB′D′D的距離相等，但平面AA′C′C與平面BB′D′D相交，不平行，故充分性不成立.三、應(yīng)用舉例例1如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′．求證：平面AB′D′∥平面C′BD．證明：在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，易證得BD∥B′D′．又∵B′D′?平面AB′D′，BD?平面AB′D′，∴BD∥平面AB′D′．同理BC′∥平面AB′D′．又∵BD∩BC′=B，且BD?平面C′BD，BC′?平面C′BD，∴平面AB′D′∥平面C′BD（面面平行的判定定理）． 總結(jié)：利用判定定理證明兩個(gè)平面平行的一般方法：（1）要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面即可．（2）判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．例2如圖，點(diǎn)P在SA上，從點(diǎn)P處將三棱錐形木塊S-ABC鋸開(kāi)，使得截面與底面ABC平行，怎么在側(cè)面上畫(huà)線？解：如圖，過(guò)點(diǎn)P在側(cè)面SAB上作AB的平行線，交SB于點(diǎn)E；再過(guò)點(diǎn)P在側(cè)面SAC上作AC的平行線，交SC于點(diǎn)F，連接EF.則截面PEF就是所求.下面證明平面PEF∥平面ABC：∵PE∥AB，AB?平面ABC，PE?平面ABC，∴PE∥平面ABC.同理可證PF∥平面ABC.又∵PE?平面PEF，PF?平面PEF，PE∩PF=P，∴平面PEF∥平面ABC.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，熟悉面面平行的判定定理的解題思路，并提醒學(xué)生注意判定定理的注意事項(xiàng)．四、課堂練習(xí)1.設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，則α∥β的充要條件是（）A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B.α，β平行于同一條直線C.α，β平行于同兩條直線D.α內(nèi)的任何直線都與β平行2.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F分別是棱BB′和棱CC′的中點(diǎn). （1）求證：平面B′DF∥平面ACE；（2）試問(wèn)平面B′DF截正方體所得的截面是什么圖形？并說(shuō)明理由.3.如圖，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)M是線段B′D′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是BC、CM的中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面BDD′B′；（2）設(shè)G是棱CD上的一點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面GEF∥平面BDD′B′.參考答案：1.A選項(xiàng)，無(wú)數(shù)條直線可能都是平行的，不能保證有相交的兩條直線，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，線線之間平行可以傳遞，面面之間平行可以傳遞，但是線面之間不可傳遞，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，選項(xiàng)中兩條直線不一定相交，面面平行的判定定理不成立，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，α內(nèi)的任何直線都與β平行，則一定能找出兩條相交直線β平行，判定定理成立，正確.故選D選項(xiàng).2.（1）證明：連接EF∵E、F分別是棱BB′和棱CC′的中點(diǎn) ∴EF∥BC∥AD，且EF=BC=AD，可得四邊形AEFD為平行四邊形則AE∥DF，又AE?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE∵B′E∥CF，且B′E=CF，∴四邊形B′ECF為平行四邊形，則CE∥B′F又CE?平面ACE，B′F?平面ACE，∴B′F∥平面ACE又DF∩B′F=F，∴平面B′DF∥平面ACE（2）取AA′的中點(diǎn)G，連接DG，B′G，可得B′G∥AE且B′G=AE，由（1）知，DF∥AE且DF=AE，則B′G∥DF且B′G=DF，∴四邊形DGB′F為平行四邊形，又B′G=B′F，∴四邊形DGB′F為菱形.3.（1）證明：連接BM．∵E、F分別是BC、CM的中點(diǎn)，∴EF∥BM．又EF?平面BDD′B′，BM?平面BDD′B′，∴EF∥平面BDD′B′．（2）解：當(dāng)G為CD中點(diǎn)時(shí)，平面GEF∥平面BDD′B′．理由如下：取CD中點(diǎn)G，連接EG、MG，∵E、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴EG∥BD．又EG?平面BDD′B′，BD?平面BDD′B′，∴EG∥平面BDD′B′．又EF∥平面BDD′B′，EG∩EF=E，∴平面GEF∥平面BDD′B′．五、課堂小結(jié) 六、布置作業(yè)教材第223頁(yè)習(xí)題6-4A組第1、3、5題．