《平面與平面平行(2)》示范公開課教案【高中數(shù)學必修第二冊北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.4.2平面與平面平行(2)◆教學目標1.借助長方體，通過直觀感知、操作確認，理解平面與平面平行的判定定理，并會初步運用；2.能運用有關平行的判定定理和性質定理，論證線線平行、線面平行、面面平行；3.讓學生在發(fā)現(xiàn)中學習，培養(yǎng)學生抽樣概括、推理論證等素養(yǎng)．◆教學重難點◆教學重點：平面與平面平行的判定定理．教學難點：平面與平面平行的判定定理的應用．◆教學過程一、新課導入回顧：如何判斷一條直線與一個平面平行？答案：線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.簡單來說，就是要證“線面平行”，先證“線線平行”.追問1：那么如何證明兩個平面平行呢？回答：從定義看，證明兩平面無交點即可.類比線面平行的判定，是否可以通過“線面平行”來證明“面面平行”？接下來我們就一起來探討一下.設計意圖：通過復習線面平行的判定定理，引出面面平行的判定.先引導學生提出猜想，后面再進行探究，啟發(fā)學生思考.二、新知探究問題1：一個平面內的一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行嗎？ 探究：長方體中，A′D′∥平面ABCD，那么過A′D′的平面與平面ABCD平行嗎？如圖，平面A′B′C′D′∥平面ABCD，平面A′BCD′∩平面ABCD=BC.答案：不一定.問題2：一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行嗎？答案：一個平面內的兩條直線可能平行，也可能相交，故要分情況討論追問1：當兩條直線平行時，兩平面是否平行？（借助長方體探究）答案：①如圖，長方體中，A′D′，B′C′∥平面ABCD，A′D′∥B′C′時，平面A′B′C′D′∥平面ABCD；②如圖，長方體中，A′D′，EF∥平面ABCD，A′D′∥EF時，平面A′EFD′∩平面ABCD；綜上所述，兩條直線平行時，兩平面可能平行，也可能相交.追問2：當兩條直線相交時，兩平面是否平行？（借助長方體探究）答案：平行.追問3：綜合上述探究過程，試猜想如何判定兩個平面平行？答案：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.下面我們證明此猜想的正確性.已知：a?α，b?α，a∩b=A，a∥β，b∥β.求證：α∥β. 證明：假設α∩β=c，則a，b與c相交或平行．①若a，b與c都相交，∴a，b與β相交，與a∥β，b∥β矛盾．②若a，b中一條與c相交，另一條與c平行，不妨設a與c相交，b∥c．∴a與β相交，與a∥β矛盾．綜上所述，假設不成立，故α∥β.面面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.符號語言：若a?α，b?α，a∩b=A，a∥β，b∥β，則α∥β.注意：此定理共三個條件，在應用時缺一不可，即：①兩條線都在面內，“a?α，b?α”；②兩線相交，“a∩b=A”；③兩線與另一平面平行，“a∥β，b∥β”.在空間中，常用此定理來由“線面平行”來證明“面面平行”.至此，“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”之間的相互推導就已學完了，具體如下：判斷：下列命題是否正確？（1）若平面α內的兩條直線分別與平面β平行，則α∥β；（2）若平面α內有無數(shù)條直線與平面β平行，則α∥β；（3）平行于同一直線的兩個平面平行；（4）兩個平面分別經過兩條平行直線，這兩個平面平行；（5）過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面；（6）一個平面內的任何一條直線都與另一個平面平行，則兩個平面平行.答案：（1）錯誤.沒有說明兩條直線相交，條件不足，面面平行的判定定理不成立； （2）錯誤.線不在多，重在相交，無數(shù)條直線并不能保證有相交的兩條直線，判定定理不成立；（3）錯誤.平行的傳遞行只能在線線之間傳遞或面面之間傳遞，不可在線面之間傳遞；（4）錯誤.兩個平面分別經過兩條平行直線，那這兩個平面可能平行也可能相交；（5）錯誤.平面外的一條直線可能與已知平面相交，此時就不能作出與已知平面平行的平面.（6）正確.任何一條直線則必能找到相交的兩條直線，面面平行的判定定理成立.思考：“平面α內存在著不共線的三點到平面β的距離均相等”是“α∥β”的什么條件？答案：必要不充分條件.理由如下：分別討論必要性與充分性.①必要性顯然成立．當α∥β時，平面α內必存在著不共線的三點到平面β的距離均相等.②充分性不成立．如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，平面AA′C′C中有不共線的三個點A、A′、C到平面BB′D′D的距離相等，但平面AA′C′C與平面BB′D′D相交，不平行，故充分性不成立.三、應用舉例例1如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′．求證：平面AB′D′∥平面C′BD．證明：在長方體ABCD-A′B′C′D′中，易證得BD∥B′D′．又∵B′D′?平面AB′D′，BD?平面AB′D′，∴BD∥平面AB′D′．同理BC′∥平面AB′D′．又∵BD∩BC′=B，且BD?平面C′BD，BC′?平面C′BD，∴平面AB′D′∥平面C′BD（面面平行的判定定理）． 總結：利用判定定理證明兩個平面平行的一般方法：（1）要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內找到兩條相交直線平行于另一個平面即可．（2）判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應遵循先找后作的原則，即先在一個面內找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．例2如圖，點P在SA上，從點P處將三棱錐形木塊S-ABC鋸開，使得截面與底面ABC平行，怎么在側面上畫線？解：如圖，過點P在側面SAB上作AB的平行線，交SB于點E；再過點P在側面SAC上作AC的平行線，交SC于點F，連接EF.則截面PEF就是所求.下面證明平面PEF∥平面ABC：∵PE∥AB，AB?平面ABC，PE?平面ABC，∴PE∥平面ABC.同理可證PF∥平面ABC.又∵PE?平面PEF，PF?平面PEF，PE∩PF=P，∴平面PEF∥平面ABC.設計意圖：通過例題，熟悉面面平行的判定定理的解題思路，并提醒學生注意判定定理的注意事項．四、課堂練習1.設α，β為兩個不同的平面，則α∥β的充要條件是（）A.α內有無數(shù)條直線與β平行B.α，β平行于同一條直線C.α，β平行于同兩條直線D.α內的任何直線都與β平行2.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F分別是棱BB′和棱CC′的中點. （1）求證：平面B′DF∥平面ACE；（2）試問平面B′DF截正方體所得的截面是什么圖形？并說明理由.3.如圖，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，點M是線段B′D′上的一個動點，E、F分別是BC、CM的中點.（1）求證：EF∥平面BDD′B′；（2）設G是棱CD上的一點，問：當G在什么位置時，平面GEF∥平面BDD′B′.參考答案：1.A選項，無數(shù)條直線可能都是平行的，不能保證有相交的兩條直線，錯誤；B選項，線線之間平行可以傳遞，面面之間平行可以傳遞，但是線面之間不可傳遞，錯誤；C選項，選項中兩條直線不一定相交，面面平行的判定定理不成立，錯誤；D選項，α內的任何直線都與β平行，則一定能找出兩條相交直線β平行，判定定理成立，正確.故選D選項.2.（1）證明：連接EF∵E、F分別是棱BB′和棱CC′的中點 ∴EF∥BC∥AD，且EF=BC=AD，可得四邊形AEFD為平行四邊形則AE∥DF，又AE?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE∵B′E∥CF，且B′E=CF，∴四邊形B′ECF為平行四邊形，則CE∥B′F又CE?平面ACE，B′F?平面ACE，∴B′F∥平面ACE又DF∩B′F=F，∴平面B′DF∥平面ACE（2）取AA′的中點G，連接DG，B′G，可得B′G∥AE且B′G=AE，由（1）知，DF∥AE且DF=AE，則B′G∥DF且B′G=DF，∴四邊形DGB′F為平行四邊形，又B′G=B′F，∴四邊形DGB′F為菱形.3.（1）證明：連接BM．∵E、F分別是BC、CM的中點，∴EF∥BM．又EF?平面BDD′B′，BM?平面BDD′B′，∴EF∥平面BDD′B′．（2）解：當G為CD中點時，平面GEF∥平面BDD′B′．理由如下：取CD中點G，連接EG、MG，∵E、G分別是BC、CD的中點，∴EG∥BD．又EG?平面BDD′B′，BD?平面BDD′B′，∴EG∥平面BDD′B′．又EF∥平面BDD′B′，EG∩EF=E，∴平面GEF∥平面BDD′B′．五、課堂小結 六、布置作業(yè)教材第223頁習題6-4A組第1、3、5題．