四川省眉山市仁壽縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）Word版含解析

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仁壽一中南校區(qū)高2021級高二（下）第二次月考理科數(shù)學(xué)試題本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題號的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在某次射擊比賽中，甲、乙兩人各射擊5次，射中的環(huán)數(shù)如圖，則下列說法正確的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由圖表進行數(shù)據(jù)分析，得到甲射擊5次所得環(huán)數(shù)分別為：9，8，10，9，10；乙射擊5次所得環(huán)數(shù)分別為：6，9，9，8，10；利用平均數(shù)公式及方差公式計算即可．

1【詳解】由圖可知，甲射擊5次所得環(huán)數(shù)分別為：9，8，10，9，10；乙射擊5次所得環(huán)數(shù)分別為：6，9，9，8，10；故，，，，故選：C．2.某中學(xué)舉行黨史學(xué)習(xí)教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時現(xiàn)場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學(xué)被選中的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】現(xiàn)場選名選手，共種情況，設(shè)，，，四位同學(xué)為男同學(xué)則沒有女同學(xué)被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【詳解】現(xiàn)場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設(shè)，，，四位同學(xué)為男同學(xué)則沒有女同學(xué)被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學(xué)被選中的概率為.故選：.3.已知實數(shù)滿足，則函數(shù)存在極值的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先分析三次函數(shù)有極值的條件，即為導(dǎo)函數(shù)對稱的判別式大于零，找出對應(yīng)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率計算公式即可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，

2若函數(shù)存在極值，則，解得或，因為，所以，由幾何概型的概率計算公式可得，，故選：B.4.采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為，，，，分組后某組抽到的號碼為41．抽到的人中，編號落入?yún)^(qū)間的人數(shù)為A.10B.C.12D.13【答案】C【解析】【分析】由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以11為首項、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項公式為an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整數(shù)n的個數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】∵960÷32＝30，∴每組30人，∴由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以30為公差的等差數(shù)列，又某組抽到的號碼為41，可知第一組抽到的號碼為11，∴由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以11為首項、以30為公差的等差數(shù)列，∴等差數(shù)列的通項公式為an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n為正整數(shù)可得14≤n≤25，∴做問卷C的人數(shù)為25﹣14+1＝12，故選C．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，系統(tǒng)抽樣的定義和方法，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．5.點在邊長為的正方形內(nèi)運動，則動點到定點的距離的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出滿足條件的正方形的面積及動點動點到定點的距離對應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型的概率公式，結(jié)合對立事件的概率公式即可求出答案.【詳解】解：滿足條件的正方形，如圖所示，其中滿足動點到定點的距離的平面區(qū)域如圖中陰影所示：

3則正方形的面積，陰影部分的面積，故動點到定點的距離的概率，所以滿足的概率；故選：D.6.要從甲?乙等7人中選4人在座談會上發(fā)言，若甲?乙都被選中，且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有（）A.80種B.120種C.60種D.240種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)先選后排原理，再根據(jù)插空法，進行排列組合即可得解.【詳解】除甲乙外再選兩人共有種可能，從選中的兩人中選一人插在甲乙中間，共有種可能，將此三人看作整體進行排列，共有種可能，再松綁甲乙共有，故選：A7.曲線在點處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】

4【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，即可求得答案.【詳解】∵，∴，∴，又，∴曲線在點處的切線方程為.故選：D8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像，如圖所示，那么函數(shù)（）A.在上單調(diào)遞增B.在處取得極小值C.在處切線斜率取得最大值D.在處取得最大值【答案】C【解析】【分析】本題首先可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像分析出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可判斷出A、B、D錯誤，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的幾何意義即可得出C正確.【詳解】結(jié)合圖像易知，當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取極小值，當(dāng)時，函數(shù)增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取極大值，不一定是最大值，當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，

5結(jié)合上述易知，A、B、D錯誤，因為函數(shù)在某點處的導(dǎo)函數(shù)值即函數(shù)在這點處的切線斜率，所以由圖像易知，在處切線斜率取得最大值，C正確，故選：C.9.若函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上恒成立，參變分離得到，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可得解.【詳解】因為，所以，依題意在上恒成立，所以，令，，因為在上單調(diào)遞增，則所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D10.定義在R上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，．則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可比較.【詳解】令，因為是偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

6則，即，則，故A錯誤；，即，故B錯誤；，即，故C錯誤；，即，則，故D正確.故選：D.11.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，，利用其單調(diào)性判斷的關(guān)系，令，得到，取，判斷即可．【詳解】解：令，，則，則在上單調(diào)遞增，且，因此，即，則．令，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，即，即，取，得，則，即．

7綜上，，故選：C．12.若函數(shù)的值域為，則下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】①用導(dǎo)數(shù)法判斷在上的單調(diào)性即可；②判斷在上的單調(diào)性求值域即可；③令，判斷的大小，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷；④利用基本不等式結(jié)合等式運算判斷.【詳解】當(dāng)時，，則，所以在上遞增，所以且，所以，故①正確；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，則的值域是，又因為的值域是，所以，故②正確；令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，則，即，由②知在上單調(diào)遞減，所以，故③正確；當(dāng)時，因為，即，所以，所以，

8所以，即故④正確，故選：D第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.按如圖所示的程序框圖運算，若輸入的x的值為8，則輸出的k等于________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，即可得出輸出的k的值．【詳解】第一次循環(huán)，，通過判斷得，需要繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)，，通過判斷得，需要繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)，，通過判斷，結(jié)束循環(huán)，輸出.故最后輸出的值為.故答案為：314.學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序，除第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外，4個音樂節(jié)目要求排在第2，5，7，10的位置，3個舞蹈節(jié)目要求排在第3，6，9的位置，2個曲藝節(jié)目要求排在第4，8的位置，則不同的排法有_____種.（用數(shù)字作答）【答案】288【解析】【分析】只需要4個音樂節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目，2個曲藝節(jié)目各自在能排的位置進行全排列即可，然后再乘起來.【詳解】4個音樂節(jié)目要求排在第2，5，7，10的位置，有24種排法；

93個舞蹈節(jié)目要求排在第3，6，9的位置，有種排法；2個曲藝節(jié)目要求排在第4，8的位置，有種排法.故共有24×6×2＝288種排法.故答案為：288.【點睛】本題考查兩個計數(shù)原理與排列數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，當(dāng)時，有極小值，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出其兩根，再分類討論，分別得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)在處取得極值情況，即可得解.【詳解】因為，所以，令，解得或，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取極大值，不符合題意，當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；綜上可得.故答案為：.16.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】

10【解析】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實數(shù)，滿足，，，由圖可知，，，設(shè)，其中，，顯然在單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動．為了了解本次競賽學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照[50，60)，[60，70)，

11[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60)，[90，100]的數(shù)據(jù)）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（2）根據(jù)樣本直方圖估計所取樣本的中位數(shù)及平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）．【答案】（1）n＝50，x＝0.030，y＝0.004（2）中位數(shù)為71，平均數(shù)70.6【解析】【分析】（1）由莖葉圖得到[50，60)內(nèi)的數(shù)據(jù)有8個，根據(jù)頻率分布直方圖可得在該組的頻率，從而得到樣本容量n，進而得x，y的值；（2）先判斷中位數(shù)所在的范圍，再根據(jù)中位數(shù)將頻率分布直方圖分為面積相等的兩部分得出結(jié)果；根據(jù)平均數(shù)的算法得到平均數(shù)．【小問1詳解】由莖葉圖可知，在[50，60)內(nèi)的數(shù)據(jù)有8個，又由頻率分布直方圖得[50，60)的頻率為0.016，故樣本容量，所以，故＝0.030．小問2詳解】設(shè)中位數(shù)為a，由頻率分布直方圖可知：第一組頻率為0.16，第二組頻率為0.3，第三組頻率為0.4，所以中位數(shù)位于第三組，由0.16＋0.3＋(a－70)×0.04＝0.5，解得a＝71，所以中位數(shù)為71．平均數(shù)＝0.16×55＋0.3×65＋0.4×75＋0.1×85＋0.04×95＝70.6．

1218.近日，國家衛(wèi)健委公布了2020年9月到12月開展的全國性近視專項調(diào)查結(jié)果：2020年，我國兒童青少年總體近視率為.為掌握某校學(xué)生近視情況，從該校高三（1）班隨機抽取7名學(xué)生，其中4人近視、3人不近視.現(xiàn)從這7人中隨機抽取球3人做進一步醫(yī)學(xué)檢查.（1）用表示抽取的3人中近視的學(xué)生人數(shù)，求所有可能的取值以及相應(yīng)的概率；（2）設(shè)為事件“抽取的3人，既有近視的學(xué)生，又有不近視的學(xué)生”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，然后分別計算其對應(yīng)概率即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由互斥事件的概率計算公式，代入計算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，；【小問2詳解】設(shè)B為事件“抽取的3名學(xué)生中，不近視2人，近視1人”；設(shè)為事件“抽取的3名學(xué)生中，不近視1人，近視2人”，則，且與互斥，，所以事件A發(fā)生的概率為.19.某企業(yè)為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：試銷單價（元）

13產(chǎn)品銷量（件）已知（1）求的值；（2）已知變量具有線性相關(guān)性，求產(chǎn)品銷量關(guān)于試銷單價的線性回歸方程.（可供選擇的數(shù)據(jù)）參考數(shù)據(jù)：線性回歸方程中的最小二乘估計分別是【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】（1）因為，所以；（2）因，所以，所以，所以線性回歸方程為.【點睛】本題考查根據(jù)平均數(shù)計算參數(shù)以及求解線性回歸方程，難度較易.求解線性回歸方程中的值，可以根據(jù)回歸直線方程過樣本點中心去求解.20.已知函數(shù)，a為正實數(shù)，若函數(shù)極大值為1.（1）求a的值；（2）若對任意的恒成立，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，可得當(dāng)時，取得極大值，所以由函數(shù)的極大值為1，可得，從而可求出a的值；

14（2）由對恒成立，得對恒成立，由不等式可得，所以轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，從而可求出m的取值范圍【詳解】解：（1）由題意，因為時，令函數(shù)，得到，則在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，可得（2）由對恒成立，即對恒成立，由不等式可得，當(dāng)時，，即，由，有，記，則，，故在上單調(diào)遞增，，則，結(jié)合，所以，所以m的取值范圍為.21.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的一個極值點為，求證：.【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算公式和法則求得，令、，分別解不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最大值；(2)根據(jù)極值點的概念求出函數(shù)的解析式，將原不等式轉(zhuǎn)化為在

15上恒成立，求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在性定理可知、的范圍，即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)零點的概念計算即可求出.【小問1詳解】函數(shù)的其定義域為，若，，所以，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以.【小問2詳解】，則由題意知，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以，所以要證，即證.令，則.令.則在上單調(diào)遞增，因為，，所以，使得，即，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.又因為，即，所以，

16所以，即，即.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22.已知函數(shù)．（1）若對時，，求正實數(shù)a的最大值；（2）證明：；（3）若函數(shù)的最小值為m，證明：方程有唯一的實數(shù)根，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求，并判斷的單調(diào)性，分類討論的正負，得到的單調(diào)性，求出時的范圍，從而得到的最大值；（2）利用第（1）問的結(jié)論，可得到，令，不等式兩邊求和即可證明；（3）求并判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，要證方程有唯一的實數(shù)解，只要證方程有唯一的實數(shù)解．令，，求結(jié)合的單調(diào)性以及零點存在性定理，可知，由于形式相同，可構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可知且，代入可證明.【小問1詳解】（）a為正實數(shù)，

17∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，符合題意．②當(dāng)時，，由零點存在定理，時，有，即函數(shù)在上遞減，在遞增，所以當(dāng)時，有，此時不符合．綜上所述，正實數(shù)a的最大值為1．【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，，令時，有，即，累加得，．【小問3詳解】因為，所以，即函數(shù)在上遞增，又，由零點存在定理，時，有，即，因此，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即．要證方程有唯一的實數(shù)解，只要證方程有唯一的實數(shù)解．設(shè)，則，

18所以函數(shù)在上遞增，又，，由零點存在定理，時，，即，因此，又，設(shè)，則函數(shù)在上遞增，于是且，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即函數(shù)有唯一零點，故方程有唯一的實數(shù)解．【點睛】方法點睛：零點存在性定理：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.零點代換：當(dāng)存在零點，且滿足等式時，對應(yīng)在此點處的等量運算也成立，即若有，則有.

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