四川省成都市石室中學(xué)2023屆高三高考沖刺卷（一） 理科數(shù)學(xué)Word版含解析

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高中2023屆畢業(yè)班高考沖刺卷（一）（理科）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則集合（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡，然后結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛?，且，則，所以.故選：A2.走路是最簡單優(yōu)良的鍛煉方式，它可以增強(qiáng)心肺功能，血管彈性，肌肉力量等，甲、乙兩人利用手機(jī)記錄了去年下半年每個(gè)月的走路里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A.甲走路里程的極差等于B.乙走路里程的中位數(shù)是C.甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)D.甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差

1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折線圖，得到甲、乙下半年的走路歷程數(shù)據(jù)，根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)據(jù)穩(wěn)定性之間的關(guān)系求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，月甲走路的里程為：、、、、、，甲走路里程的極差為公里，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，月乙走路的里程為：、、、、、，由小到大排列分別為：、、、、、，所以，乙走路里程的中位數(shù)是，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)，乙下半年每月走路里程的平均數(shù)為，所以，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，甲下半年走路里程數(shù)據(jù)波動(dòng)性大于乙下半年走路里程數(shù)據(jù)，所以甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差，D錯(cuò).故選：C.3.已知平面向量，，的夾角為，，則實(shí)數(shù)（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)兩邊平方，再由數(shù)量積公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.4.若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】

2設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)行比較建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），設(shè)切點(diǎn)為（m，2lnm+1），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，則對(duì)應(yīng)的切線方程為即且，即，則，則，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5.函數(shù)的部分圖象大致形狀是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合對(duì)稱性以時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)判斷可得答案.詳解】由，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得，則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除BD；當(dāng)時(shí)，，，，所以，

3排除A.故選：C.6.已知正方體(如圖1)，點(diǎn)P在棱上(包括端點(diǎn)).則三棱錐的側(cè)視圖不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三視圖逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)D重合，則的側(cè)視圖如選項(xiàng)A所示，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)重合，則的側(cè)視圖如選項(xiàng)B所示，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，則的側(cè)視圖如選項(xiàng)C所示，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)辄c(diǎn)P在棱上運(yùn)動(dòng)，則側(cè)視圖中右邊的一條邊與底邊垂直，且右邊的一條邊的邊長與正方體的棱長相等，所以的側(cè)視圖如不可能如選項(xiàng)D所示，故D錯(cuò)誤；故選：D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線截橢圓的弦長為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

4A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)以及在橢圓上，即可求解的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當(dāng)時(shí)，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B8.已知（為常數(shù)），若在上單調(diào)，且，則的值可以是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)，可得，再由求得的一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，進(jìn)而求得，再求的值.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即.

5又，所以為的一條對(duì)稱軸，且即為的一個(gè)對(duì)稱中心，因?yàn)?，所以和是同一周期?nèi)相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則，即，所以，所以，又為的一個(gè)對(duì)稱中心，則，，則，，當(dāng)時(shí)，.故選：A.9.如圖，在矩形中，分別為邊上的點(diǎn)，且，，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)，將四邊形沿著直線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)不在平面上，在這一過程中，下列關(guān)系不能成立的是（）

6A.直線直線B.直線直線C.直線直線D.直線平面【答案】C【解析】【分析】畫出翻折之后的立體圖形，根據(jù)點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系以及平行與垂直的相關(guān)定理，可以證明或證偽相關(guān)命題.【詳解】翻折之后如圖所示：①因?yàn)?，，所以且，因此，故選項(xiàng)A成立；②連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B成立；③因，，所以與不平行，故選項(xiàng)C不成立；④因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)D成立.故選：C10.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1所示）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示，盛水桶在處距水面的距離為，則

7后盛水桶到水面的距離近似為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)后盛水桶到水面的距離關(guān)于的函數(shù)解析式為，根據(jù)題中信息求出函數(shù)的解析式，再令即可得解.【詳解】設(shè)后盛水桶到水面的距離關(guān)于的函數(shù)解析式為，由題意可得，解得，由于筒車每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，函數(shù)的最小正周期為，所以，，則，由于盛水桶在處距水面的距離為，則，可得，由于函數(shù)在附近單調(diào)遞增，則第一象限角，所以，，所以，.故選：D.

8【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）審題：審清題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系；（2）建模：分析題目變化趨勢，選擇合適的三角函數(shù)模型；（3）求解：對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究，從而得出結(jié)論.11.已知雙曲線C的方程為，斜率為的直線與圓相切于M，與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B，且M為AB中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】.設(shè)出直線的方程，求出A，B的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入圓方程中即可求離心率【詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，圓的方程可化為，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切于M，所以，由可化簡得，則直線的方程為，雙曲線C的兩條漸近線分別為，，由得，同理可得，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，M在圓上，將M的坐標(biāo)代入圓方程可得，化簡整理得，從而可得，

9則雙曲線C的離心率.故選：B12.已知函數(shù)的定義域均為，且滿足，為奇函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由條件通過賦值，結(jié)合周期函數(shù)的定義證明為周期為的周期函數(shù)，再求，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)求，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，在中將代換為可得①，在中將代換為可得②，①②兩式相減可得，所以，即，設(shè)，則，所以函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，由取可得，由取可得，所以，在中取可得，在中取可得④，在中取可得⑤，在中取可得⑥，將④⑤⑥相加可得，又，所以，又，，所以，，

10又函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，周期函數(shù)的定義，周期函數(shù)的性質(zhì)，組合求和法，等差數(shù)列求和，考查賦值法，屬于綜合題，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可由共軛復(fù)數(shù)的概念以及虛部概念求解.【詳解】由得，故，且虛部為1，故答案為：114.在之間任取一個(gè)實(shí)數(shù)，使得直線與圓有公共點(diǎn)的概率為________.【答案】##【解析】【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系求出的取值范圍，再利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，則，解得，因此，所求事件的概率為.

11故答案為：.15.已知正三棱柱所有頂點(diǎn)都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為________.【答案】8【解析】【分析】由條件結(jié)合球的體積公式求球的半徑，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，求出三棱柱的高，結(jié)合棱柱的體積求三棱柱的體積，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】設(shè)正三棱柱的上，下底面的中心分別為，連接，根據(jù)對(duì)稱性可得，線段的中點(diǎn)即為正三棱柱的外接球的球心，線段為該外接球的半徑，設(shè)，由已知，所以，即，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，在中，，所以，，又的面積，所以正三棱柱的體積，設(shè)，則，，所以，，所以，

12令，可得或，舍去，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值，所以當(dāng)時(shí)，三棱柱的體積最大，最大體積為.故答案為：.16.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，且，則當(dāng)邊取得最大值時(shí)，的周長為________.【答案】##【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，利用正弦定理可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出的周長.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，整理可得，因?yàn)?、，所以，，則，故，由正弦定理可得，

13整理可得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最大值，且的最大值為，此時(shí)，，，所以，，因此，當(dāng)邊取得最大值時(shí)，的周長為.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．求的通項(xiàng)公式；若，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．利用的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．【詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)得，所以常數(shù)，

14故．由于，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．18.“五一黃金周”期間，某商場為吸引顧客，增加顧客流量，推出購物促銷優(yōu)惠活動(dòng)，具體優(yōu)惠方案有兩種：方案一：消費(fèi)金額不滿300元，不予優(yōu)惠；消費(fèi)金額滿300元減60元；方案二：消費(fèi)金額滿300元，可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則為：從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球共6個(gè)球的盒子中任取3個(gè)球（這些小球除顏色不同其余均相同），抽獎(jiǎng)?wù)吒鶕?jù)抽到的紅球個(gè)數(shù)不同將享受不同的優(yōu)惠折扣，具體優(yōu)惠如下：抽到的紅球個(gè)數(shù)0123優(yōu)惠折扣無折扣九折八折七折（1）現(xiàn)有甲乙兩位顧客各獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求這兩位顧客恰好有一人獲得八折優(yōu)惠折扣的概率；（2）若李女士在該商場消費(fèi)金額為x元（），請(qǐng)以李女士實(shí)付金額的期望為決策依據(jù)，對(duì)李女士選擇何種優(yōu)惠方案提出建議.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先求事件抽獎(jiǎng)的顧客獲得八折優(yōu)惠的概率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求兩位顧客恰好有一人獲得八折優(yōu)惠折扣的概率；（2）在條件下，分別求兩種方案下李女士實(shí)付金額的期望，由此提出建議.【小問1詳解】設(shè)事件A：抽獎(jiǎng)的顧客獲得八折優(yōu)惠，則；由于甲乙兩位顧客獲得八折優(yōu)惠的概率均為，設(shè)甲乙兩位顧客恰好一人獲得八折優(yōu)惠的概率P，

15則；所以甲乙兩位顧客恰好一人獲得八折優(yōu)惠的概率為.【小問2詳解】方案一：設(shè)實(shí)付金額，則,（）.方案二：設(shè)實(shí)付金額，則的可能取值有：x，0.9x，0.8x，0.7x；（）.；；；；所以.①若，解得，選擇方案一；②若，解得，選擇方案一或方案二均可；③若，解得，選擇方案二.，所以當(dāng)消費(fèi)金額大于且小于時(shí)，選擇方案一；當(dāng)消費(fèi)金額等于時(shí)，選擇方案一或方案二均可；當(dāng)消費(fèi)金額大于時(shí)，選擇方案二.19.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：；（2）若，平面平面，且，求直線l與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明過程見詳解

16（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)G，連接，，先證明四邊形為平行四邊形，再證明EF∥平面，再根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)題意先證明，，兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)求得的值，再利用線面角的向量求法即可求解．【小問1詳解】取中點(diǎn)G，連接，，∵E，G分別是，中點(diǎn)，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴EF∥平面，∵平面，平面平面，∴．【小問2詳解】由三棱柱為直棱柱，∴平面，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

17設(shè)，則，，，，所以，，又，則，解得，所以，，則，，設(shè)平面法向量為，所以，即，取，得，由（1）知直線，則l方向向量為，設(shè)直線l與平面所成角為，則，則，所以直線l與平面所成角的余弦值為．20.已知拋物線C：，過的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：直線OA，OB的斜率之積為定值；（2）若線段AB的垂直平分線交y軸于M，且，求直線AB的方程.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示斜率乘積；

18（2）結(jié)合二倍角公式，求，以及弦長公式求，并利用韋達(dá)定理表示，利用比值，即可求直線方程.【小問1詳解】設(shè)，設(shè)直線AB：x=my+1.聯(lián)立化簡可得：由韋達(dá)定理可得：；所以，所以直線OA，OB的斜率之積為定值.【小問2詳解】設(shè)線段AB的中點(diǎn)N，設(shè).則，解得，所以，即；所以；又線段AB的中點(diǎn)N，可得，所以.因?yàn)?，所以，所?所以，解得；所以直線AB的方程為：或.21.已知，.（1）求的極值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分與討論，即可得到結(jié)果.

19（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，求得其最大值，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，無極值，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有極大值，，無極小值，綜上：當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，極大值為，無極小值；【小問2詳解】若，則在時(shí)恒成立，恒成立，令，令，則，在單調(diào)遞減，又，由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一零點(diǎn)，使得，即，令在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，即的取值范圍為.

20【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題，難度較難，解答本題關(guān)鍵在于分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為最值問題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按做的第一題記分.[選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）.（1）將曲線化為普通方程；（2）若曲線與軸相交于，與軸相交于，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線相交于，求四邊形的面積.【答案】（1）；，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)系消去曲線的參數(shù)可得其普通方程，根據(jù)平方關(guān)系消去參數(shù)可得曲線的普通方程，（2）先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求四邊形面積即可.【小問1詳解】曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）可得（為參數(shù)）消去參數(shù)可得：，所以曲線的普通方程為：.曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）可得（t為參數(shù)）

21消去參數(shù)t可得，又因?yàn)?，所?所以曲線的普通方程為：，.【小問2詳解】易得曲線與軸交于，與軸交于.將射線化為直角坐標(biāo)方程：.聯(lián)立解得，所以四邊形的面積；所以四邊形的面積為.[選修4—5：不等式選講]23.設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析．【解析】【分析】（1）先由基本不等式可得，再結(jié)合的展開式即可證明原式成立；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】證明：（Ⅰ）：因?yàn)樗怨剩?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.

22（Ⅱ）均為正數(shù)，由柯西不等式得：即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式、柯西不等式等證明不等式，難度一般.證明時(shí)，利用整體思想，注意“1”的巧妙代換.

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