重慶市第八中學(xué)校2023屆高三二模數(shù)學(xué) Word版含解析

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重慶八中高2023屆高三（下）全真模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，再求可得答案.詳解】，，.故選：C.2.若，，則（）A.B.C.2D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及求模公式得解.【詳解】，所以，故選：A．3.某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，，（）A.0.14B.0.18C.0.23D.0.26【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可.

1【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故選：C.4.比薩斜塔是意大利的著名景點(diǎn)，因斜而不倒的奇特景象而世界聞名.把地球看成一個(gè)球(球心記為)，地球上一點(diǎn)的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，的方向即為點(diǎn)處的豎直方向.已知比薩斜塔處于北緯，經(jīng)過(guò)測(cè)量，比薩斜塔朝正南方向傾斜，且其中軸線與豎直方向的夾角為，則中軸線與赤道所在平面所成的角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫(huà)出示意圖，即可選出正確答案.【詳解】解析如圖所示，為比薩斜塔的中軸線，，，則，中軸線與赤道所在平面所成的角為.故選:A.

25.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.32B.C.16D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)求出n的值，再運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】∵的展開(kāi)式共有項(xiàng)，只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴，∴，∴的第項(xiàng)為，（），∴令，解得：，∴，即：展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.6.已知函數(shù)，則（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，故選：D.7.如圖所示，梯形中，，且，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為（）

3A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得，進(jìn)而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)，，∴，又，

4∴，解得，∴，即的最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性求不等式即可.【詳解】均為偶函數(shù)，故函數(shù)為偶函數(shù)，令則，，即在R上單調(diào)遞減，又在恒成立，故函數(shù)在上遞減，在遞增..故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的短軸長(zhǎng)為B.的坐標(biāo)為C.橢圓的離心率為D.存在點(diǎn)P，使得

5【答案】AC【解析】【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)的大小關(guān)系可判斷D的正誤.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，則短軸長(zhǎng)為，A正確；的坐標(biāo)為，B錯(cuò)誤；離心率為，C正確；因?yàn)椋室栽c(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，使得，D錯(cuò)誤，故選：AC.10.隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，信號(hào)處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，的圖象就可以近似的模擬某種信號(hào)的波形，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為D.函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的最大值為3【答案】ABD【解析】【分析】判斷與的關(guān)系可判斷AC；討論奇偶性可判斷B；求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋瑢?duì)于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；

6對(duì)于B，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，由題知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題可知，且，故D正確.故選：ABD.11.已知，滿足，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和基本不等式求最值，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否正確.【詳解】對(duì)于A，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；對(duì)于B，由，得且，令，則，解得，解得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.12.在數(shù)列中，（，為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A.是等方差數(shù)列B.若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則C.等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D.存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列

7【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等方差數(shù)列定義判斷A，由等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列求判斷B，根據(jù)等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷C，由等差數(shù)列及等方差數(shù)列定義，利用反證法判斷D.【詳解】設(shè)，則不為非零常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；由題意，則，由是等比數(shù)列，得，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，滿足題意，故B正確；設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)，則，所以，若為常數(shù)，則，但此時(shí)，不滿足題意，故C正確；若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，不妨設(shè)，（為非零數(shù)），，所以，即，所以，即，所以為常數(shù)列，這與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，若，則_________.【答案】4【解析】【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】解：由拋物線的定義知，所以.故答案為：414.已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則使不等式成立的正整數(shù)n的最小值為

8________．【答案】9【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，求出，再解不等式即得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)?，，所以，所以，所以．因，即，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以正整數(shù)的最小值為9．故答案為：915.已知函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，則取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)或有唯一零點(diǎn)，然后令，參變分離，利用導(dǎo)數(shù)可解.【詳解】存在唯一零點(diǎn)，是的唯一零點(diǎn)，則在上無(wú)零點(diǎn)或有唯一零點(diǎn)，即在上無(wú)解或有唯一解令，則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有最小值.由圖可知，要使在上無(wú)解或有唯一解，只需.

9綜上，.故答案為：.16.以棱長(zhǎng)為的正四面體中心點(diǎn)為球心，半徑為的球面與正四面體的表面相交部分總長(zhǎng)度為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】求出正四面體內(nèi)切球半徑即為球心到面ABC的距離，從而得到球被平面所截得的圓的半徑，再求出的內(nèi)切圓的半徑，此圓恰好為球被平面所截得的圓，即球面與各表面相交部分恰為三角形的內(nèi)切圓，求四個(gè)內(nèi)切圓的周長(zhǎng)即可.【詳解】將正四面體放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，所以正四面體的體積為，表面積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，則，解得.顯然內(nèi)切球心為，故到面的距離為，球面與面相交部分為以的圓，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，圓心為為的中點(diǎn)，則，故，此時(shí)恰好，即球面與各表面相交部分恰為三角形的內(nèi)切圓，

10故當(dāng)時(shí)，圓弧總長(zhǎng)度為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)平面（可以無(wú)限延展的）截球所得截面的計(jì)算時(shí)，第一步求出球心到截面的距離，第二步根據(jù)計(jì)算出截面圓的半徑，第三步在截面（只是有限大小的平面圖形）內(nèi)通過(guò)計(jì)算判斷所截圖形是一個(gè)完整的圓還是圓的一部分，這時(shí)要根據(jù)平面幾何中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）證明：；（2）若，求邊長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式和正弦定理可得答案；（2）由正弦定理可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，再由余弦定理可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，即，由正弦定理可得，因此，；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，由平面向量?shù)量積的定義可得，所以，，可得，

11即，所以，，則.18.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】（1）（2）2500【解析】【分析】（1）由為等差數(shù)列，得到，且，再利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）根據(jù)題意，由，得到，即，從而求解.【小問(wèn)1詳解】解：為等差數(shù)列，，且，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，則，由，故，所以是首項(xiàng)為1，公差均為1的等差數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】由，即，即，所以，所以的前50項(xiàng)和為.19.某市為了更好的了解全體中小學(xué)生感染新冠感冒后的情況，以便及時(shí)補(bǔ)充醫(yī)療資源.

12從全市中小學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生監(jiān)測(cè)其健康狀況，100名中小學(xué)生感染奧密克戎后的疼痛指數(shù)為，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：疼痛指數(shù)人數(shù)（人）10819名稱無(wú)癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.（1）統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，記事件：該名學(xué)生為有癥狀感染者，事件：該名學(xué)生為重癥感染者，求似然比的值；（2）若該市所有抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)近似的服從正態(tài)分布，且.若從該市眾多抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，設(shè)這3名學(xué)生中輕癥感染者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式計(jì)算求解即可；（2）應(yīng)用，由二項(xiàng)分布分別寫(xiě)出求分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，，，.

13【小問(wèn)2詳解】，，則，可能的取值為，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.20.在三棱柱中，，且.（1）證明：；（2）若，二面角的大小為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，由已知判定即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求平面的夾角即可.【小問(wèn)1詳解】

14設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】由上可知：，在中，由余弦定理得，則，，又因?yàn)槠矫妫娼堑拇笮?，則，如圖所示，由（1）知，以所在直線分別為軸，軸，以過(guò)O垂直于底面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則軸面，可得坐標(biāo)如下：，則，.

15設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，則，即，，令，則，即，記平面與平面的夾角為.21.已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)得，分類討論的值，判斷函數(shù)單調(diào)性即可；（2）結(jié)合（1）知對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，知在上恒成立，分離參數(shù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】，

16令，則兩根分別為.1.當(dāng)時(shí)，在恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；2.當(dāng)時(shí)，令得或，令得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；3.當(dāng)時(shí)，令得或時(shí)，令得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，若，則，的在區(qū)間單調(diào)遞增.又，所以對(duì)恒成立對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，令，則在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，又，且，在上恒成立，即

17令，則令得，令得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第一問(wèn)含有參數(shù)的單調(diào)性需要分類討論，判定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)大小確定單調(diào)區(qū)間，討論要不漏不重；第二問(wèn)，對(duì)于恒成立問(wèn)題可以利用分離參數(shù)的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系即可.22.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4.（1）求C的方程；（2）如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且垂直于y軸（P位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過(guò)P的直線交C于G，H兩點(diǎn)，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點(diǎn)，若O，A，N，M四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實(shí)軸長(zhǎng)，可求得a,b,即得答案;（2）根據(jù)O，A，N，M四點(diǎn)共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，

18，從而可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達(dá)式中化簡(jiǎn)，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為4，即，，又，所以，，故C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由O，A，N，M四點(diǎn)共圓可知，，又，即，故，即，所以,設(shè)，，，由題意可知，則直線，直線，因?yàn)镸在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，故M坐標(biāo)為，所以，又，由，則，整理可得，當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，可得，所以，，

19又，所以,故，即，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題，解答時(shí)要注意明確點(diǎn)線的位置關(guān)系，能設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出參數(shù)的表達(dá)式，再結(jié)合聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，難點(diǎn)在于較為繁雜的計(jì)算，要十分細(xì)心.

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