重慶市萬州第二高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析

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高2021級高二下期中期考試數(shù)學(xué)試題一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則m等于（）A.1B.3C.1或3D.1或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可知:或者,解得:或故選：C2.函數(shù)在上的圖像大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由奇偶性排除兩個選項，再取特值即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為，而，且，即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點不對稱，排除選項CD；

1而當(dāng)時，，排除選項A，選項B符合要求.故選：B3.在中國地圖上，西部五省（甘肅、四川、青海、新疆、西藏）如圖所示，有四種顏色供選擇，要求每省涂一色，相鄰省不同色，則不同的涂色方法有（）種.A.48B.72C.96D.120【答案】B【解析】【分析】結(jié)合分步、分類計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】先進行編號：新疆、甘肅、青海、西藏、四川，按的順序進行涂色，其中顏色可以相同或不相同，所以不同的涂色方法數(shù)有種.故選：B4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，參變分離，可將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再由配方法，即可得解．

2【詳解】解：因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：D．5.3個0和2個1隨機排成一行，則2個1相鄰的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出將3個0和2個1隨機排成一行的排法，再求出2個1相鄰的排法，由古典概型求解即可.【詳解】將3個0和2個1隨機排成一行，只需要在5個位子中選2個放1即可，有種排法；其中2個1相鄰，只需要將2個1捆綁，在4個位子中選1個放1即可，有種排法；則2個1相鄰的概率為.故選：B.6.已知橢圓：（）的左右焦點分別為、，為橢圓上一點，，若坐標(biāo)原點到的距離為，則橢圓離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，通過橢圓的定義，以及三角形的解法求出直角三角形的邊長關(guān)系，利用勾股定理，化簡整理，結(jié)合離心率公式，可得所求值．【詳解】設(shè)，，

3作，，由題意可得，，，即有，，由，可得，因為，在直角三角形中，由勾股定理得，可得．故選：D．7.有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個工廠實習(xí)，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）A.12B.14C.36D.72【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分廠只接受1個女生和廠接受2個女生兩類情況，結(jié)合廠的分派方案，利用分類、分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩種情況：①若廠只接受1個女生，有種分派方案，則廠分派人數(shù)可以為或，則有種分派方案，由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案；②若廠接受2個女生，只有1種分派方案，則廠分派人數(shù)為，則有種分派方案，此時共有種不同的分派方案，

4綜上，由分類計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案.故選：B.8.已知函數(shù)，關(guān)于的方程恰有兩個不等實根，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)a的取值范圍，將用a表示，可得表示為以a為自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進而求出最大值.【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下圖所示：由圖像可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，，，則，可得，，構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，

5，故選：B.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分）9.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的有（）AB.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，，故錯誤；對于B選項，，故錯誤；對于C選項，，故正確；對于D選項，，故正確.故選：CD10.已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項和，且，則（）A.B.C.D.、均為的最大值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及其前項和的性質(zhì)，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，故C錯誤；

6因為由題意得，，所以，，故D正確；故選：BD11.帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（）A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B.放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對B：分類討論一共用了幾個球，再結(jié)合捆綁法運算求解；對C：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對D：利用捆綁法運算求解.【詳解】對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種放法，A正確；對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當(dāng)于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，B錯誤；對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種放法，C正確；對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當(dāng)于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為，則下列說法正確是（）A.若函數(shù)無極值，則B.若，為函數(shù)的兩個不同極值點，則C.存在，使得函數(shù)有兩個零點D.當(dāng)時，對任意，不等式恒成立【答案】BCD【解析】

7【分析】函數(shù)無極值，則或，求解即可判斷A；若，為函數(shù)的兩個不同極值點可得，即，代入可求出的值，可判斷B；要使得函數(shù)有兩個零點，即與有兩個交點，畫出圖象即可判斷C；當(dāng)時，對任意，不等式恒成立即證明在上恒成立即可判斷D.【詳解】對于A，若函數(shù)無極值，，，則或恒成立，則或，當(dāng)，則，解得：或，故A不正確；對于B，若，為函數(shù)的兩個不同極值點，，所以，因為，則，∴，故B正確；對于C，存在，使得函數(shù)有兩個零點，與有兩個交點，在處的切線平行于軸，過原點的切線在的左側(cè)稍微旋轉(zhuǎn)后可得兩個交點，故C正確；對于D，當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，，，，令，對任意恒成立，

8在上單減，，對任意恒成立，所以，在上單減，對任意恒成立，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點和方程根問題往往利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點的問題，導(dǎo)數(shù)恒成立、極值問題通常構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.甲、乙、丙等6人排成一排，則甲和乙相鄰且他們都和丙不相鄰的排法共有__________種.（填數(shù)字）【答案】144【解析】分析】根據(jù)相鄰問題捆綁，不相鄰問題插空，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步：現(xiàn)將除甲乙丙之外的三個人全排列，有種方法，第二步；將甲乙捆綁看成一個整體，然后連同丙看成兩個個體，插空共有種方法，第三步：甲乙兩個人之間全排列，由分步乘法計數(shù)原理可得總的排法有，故答案為：14414.已知的展開式中含項的系數(shù)為，則______.【答案】##【解析】【分析】求出的展開式通項，然后利用含項的系數(shù)為列方程求解.【詳解】，又的展開式通項為，的展開式通項為，，解得.

9故答案為：.15.如圖，直三棱柱中，，，為線段上的一個動點，則的最小值是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解.【詳解】將圖中的和放置于同一平面內(nèi)，如圖所示，則.因為直三棱柱中，，，所以中，.同理，在中，,所以所以在圖中，,所以,即.所以的最小值是.故答案為：.

1016.已知函數(shù)有三個零點，且有，則的值為________.【答案】12【解析】【分析】由得出，令，得出，利用導(dǎo)數(shù)得出的圖象，由零點的個數(shù)，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】若，則，即當(dāng)時，可得，不成立，故等式兩邊同除以，得即令，則方程有兩個不等的實根，，令，則，令，當(dāng)時，，當(dāng)或時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，如下圖所示函數(shù)有三個零點，

11由圖可知，故答案為：【點睛】方法點睛：已知零點的個數(shù)求參數(shù)的范圍一般思路：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的簡圖，由交點的個數(shù)結(jié)合圖象得出參數(shù)的范圍.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知（1）若的二項展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，求展開式中的系數(shù)；（2）苦，且，求.【答案】（1）594（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可求出，然后可求的系數(shù)；（2）根據(jù)展開式系數(shù)特點判定系數(shù)正負(fù)去掉絕對值，然后給賦值就可求出和.【小問1詳解】由于的二項展開式中第7項的二項式系數(shù)為且最大，可得，則，所以當(dāng)時，故展開式中的系數(shù)為594；【小問2詳解】若，由可知當(dāng)為奇數(shù)時，即的奇次項系數(shù)為正，當(dāng)為偶數(shù)時，即的偶次項系數(shù)為負(fù)，所以，又，故.18.已知函數(shù)是的極大值點.（1）求的值；

12（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）1（2）極大值，極小值【解析】【分析】（1）由極值點的定義可得，解方程求，驗證所得結(jié)果是否滿足要求；（2）由（1）可得，結(jié)合極值的定義可求函數(shù)的極值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為∵是函數(shù)的極大值點，，即，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；

13綜上，，【小問2詳解】當(dāng)a=1時，，由（1）可得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值.19.已知數(shù)列的前n項和為Sn，滿足．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）若不等式2對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）利用得，變形得，則可證明等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得答案；（3）令，通過計算的正負(fù)，求出的最大值，將題目轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.【小問1詳解】①②①-②得，即，

14變形可得，又，得故數(shù)列是以-1為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可得，.【小問2詳解】令，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，又，，因為不等式對任意的正整數(shù)恒成立，，解得.20.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．（1）證明：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角P－BC－D為，求AP與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）見解析（2）

15【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直性質(zhì)定理以及面面垂直性質(zhì)定理，可得答案；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的定義以及勾股定理，求得棱長，寫出點的坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)計算公式，可得答案.【小問1詳解】在平行四邊形中，，，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面平面.【小問2詳解】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，則，在中，，平面，平面，，，平面，平面，在二面角的平面角，即，在中，，在平行四邊形中，，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡可得，

16令，，解得平面的一個法向量，設(shè)與平面的夾角為，.21.已知點,,動點,滿足直線與直線的斜率之積為,記動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程.（2）設(shè)經(jīng)過點且不經(jīng)過點的直線與曲線相交于M,N兩點,求證:為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,由各個點的坐標(biāo),根據(jù)斜率公式代入上式,進行化簡即可得曲線方程;(2)先考慮直線斜率不存在的情況,寫出直線方程,求出M,N兩點坐標(biāo),求出,計算,在考慮斜率存在的情況,設(shè)出直線方程及M,N兩點坐標(biāo),聯(lián)立方程組,判別式大于零,韋達定理,寫出,化簡并計算即可得出結(jié)果,證明結(jié)論.【小問1詳解】解:因為,直線與直線的斜率之積為,所以,即,,化簡可得:,故曲線的方程為:;【小問2詳解】證明:①當(dāng)直線的斜率不存在時,直線,與曲線聯(lián)立可得:,

17此時,所以;②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線,因為直線經(jīng)過點且不經(jīng)過點,所以,設(shè),聯(lián)立可得:,所以,解得:,由韋達定理可得:,因為,所以,綜上:為定值2.

18【點睛】思路點睛:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,關(guān)于定值問題的思路有:(1)根據(jù)題意分情況討論直線斜率是否存在;(2)設(shè)直線方程,聯(lián)立方程組;(3)判別式大于零,韋達定理;(4)根據(jù)題意建立關(guān)于的等式,化簡即可.22.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的最小值為0，求實數(shù)的值；（2）證明：對任意的，，恒成立．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題，，按和分類討論，求函數(shù)的最小值，解得a的值；（2）由（1）得，即，對命題進行放縮，證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，證明最小值大于或等于零，即原不等式成立.【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以，可得；當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，，在上單調(diào)遞減，無最小值，不合題意．綜上，.【小問2詳解】證明：由（1）可得不等式恒成立，用替代可得，

19，由，即證，即證，令，構(gòu)造函數(shù)，，由，，所以，上單調(diào)遞減，，所以，由于，在，上同號，在時兩式相等，所以，所以對任意的，，恒成立．【點睛】要證對任意恒成立，變換主元，構(gòu)造函數(shù)，求出m取不同值時函數(shù)的變化規(guī)律，得函數(shù)的最小值，可得只要證對任意恒成立.

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