重慶市 校2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學Word版含解析

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高2024屆高二（下）期中考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、班級、學校在答題卡上填寫清楚.2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試卷上作答無效.3．考試結束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關于相關系數(shù)的比較，正確的是（　?。〢.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布可得相關性的強弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：所對應的圖中的散點呈現(xiàn)正相關，而且對應的相關性比對應的相關性要強，故，所對應的圖中的散點呈現(xiàn)負相關，且根據(jù)散點的分布情況可知,因此，故選：C2.新高考數(shù)學中的不定項選擇題有4個不同選項，其錯誤選項可能有0個、1個或2

1個，這種題型很好地凸顯了“強調在深刻理解基礎之上的融會貫通、靈活運用，促進學生掌握原理、內化方法、舉一反三”的教考銜接要求．若某道數(shù)學不定項選擇題存在錯誤選項，且錯誤選項不能相鄰，則符合要求的4個不同選項的排列方式共有（）A.24種B.36種C.48種D.60種【答案】B【解析】【分析】當錯誤選項恰有1個時，直接全排列即可；當錯誤選項恰有2個時，利用插空法求解.最后將兩種情況相加即可.【詳解】當錯誤選項恰有1個時，4個選項進行排列有種；當錯誤選項恰有2個時，先排2個正確選項，再將2個錯誤選項插入到3個空位中，有種．故共有種．故選：B．3.某部門統(tǒng)計了某地區(qū)今年前7個月在線外賣的規(guī)模如下表：月份代號x1234567在線外賣規(guī)模y（百萬元）111318★28★35其中4、6兩個月的在線外賣規(guī)模數(shù)據(jù)模糊，但這7個月的平均值為23．若利用回歸直線方程來擬合預測，且7月相應于點的殘差為，則（）A.1.0B.2.0C.3.0D.4.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再借助回歸直線特征及殘差列出方程組即可求解作答.【詳解】依題意，，而，于是得，而當時，，即，聯(lián)立解得，所以.故選：B4.函數(shù)的定義域為，它的導函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）

2A.是的極小值點B.C.函數(shù)在上有極大值D.函數(shù)有三個極值點【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導函數(shù)與原函數(shù)的關系，結合極值點和極大值的定義逐一判斷即可.【詳解】當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以有，因此選項B正確；當時，，單調遞增，所以在上沒有極大值，因此選項C不正確；當時，，單調遞增，因此不是的極值點，只有當時，函數(shù)有極值點，所以選項A不正確，選項D不正確，故選：B5.數(shù)列的前n項和為，對一切正整數(shù)n，點在函數(shù)的圖象上，（且），則數(shù)列的前n項和為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】

3【分析】根據(jù)與的關系求得，進而求出，利用裂項相消求和法即可求解.【詳解】由題意知①，當時，，當時，②，①-②，得，若，，符合題意，所以，則，所以，則.故選：D.6.重慶，我國四大直轄市之一，在四大直轄市中，5A級旅游點最多，資源最為豐富，不僅有山水自然風光，還有人文歷史景觀．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到重慶旅游，分別準備從武隆喀斯特旅游區(qū)、巫山小三峽、南川金佛山、大足石刻和酉陽桃花源5個國家5A級旅游景區(qū)中隨機選擇其中一個景區(qū)游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇巫山小三峽，事件B：甲和乙選擇的景區(qū)不同，則條件概率（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出事件A發(fā)生的個數(shù)和事件同時發(fā)生的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即得答案.【詳解】由題意可知事件A發(fā)生的情況為甲乙兩人只有有一人選擇巫山小三峽或兩人都選選擇巫山小三峽，個數(shù)為,事件同時發(fā)生的情況為一人選巫山小三峽，另一人選其他景區(qū)，個數(shù)為，

4故,故選：D7.隨機變量X的分布列如下所示．X123Pa2ba則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分布列得出，即可代入計算出，即可根據(jù)方差的運算率得出，令，求導得出，即可得出答案.【詳解】由題可知，即，，，則，令，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，則的最大值為.故選：D.8.若，則（）A.B.

5C.D.【答案】D【解析】【分析】構造，，分別求導得到單調區(qū)間，根據(jù)單調性得到，，代入計算得到答案.【詳解】設，，則，當時，，函數(shù)單調遞減，故，即，即，故；設，，當時，，函數(shù)單調遞增，故，即，即，故；綜上所述：.故選：D【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)比較數(shù)的大小關系，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中構造函數(shù)，是解題的關鍵.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的序號是（）A.在回歸直線方程中，當解釋變量x每增加一個單位時，響應變量平均平均增加0.8個單位；B.利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理；C.已知X，Y是兩個分類變量，若它們的隨機變量的觀測值越大，則“X與Y有關系”的把握程度越??；

6D.在一組樣本數(shù)據(jù)…，（…，不全相等）的散點圖中，若所有樣本（…）都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)回歸方程的定義和性質知AB正確，隨機變量的觀測值越小，則“與有關系”的把握程度越小，C錯誤，樣本相關系與回歸直線斜率無關，D錯誤，得到答案.【詳解】對于選項A：在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，響應變量平均增加0.8個單位，正確；對于選項B：用隨機誤差的平方和，即，并使之達到最小，這樣回歸直線就是所有直線中取最小值的那一條，由于平方又叫二乘，所以這種使“隨機誤差的平方和為最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理，正確；對于選項C：對分類變量與，對它們的隨機變量的觀測值越小，則“與有關系”的把握程度越小，錯誤；對于選項D：樣本相關系數(shù)反映的是兩變量之間線性相關程度的強弱，與回歸直線斜率無關，題中樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為，錯誤.故選：.10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（）．A.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B.若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.若甲、乙、丙三位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D.若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的分配方案有36種【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)相關的計數(shù)原理逐項分析.【詳解】對于A，將甲乙捆綁有種方法，若戊在丙丁之間有

7排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有種方法；若丙丁相鄰，戊在左右兩邊有種排法，但甲乙必須插在丙丁之間，一共有種排法，所以總的排法有，故A錯誤；對于B，若甲在最左端，有種排法，若乙在最左端，先排甲有種排法，再排剩下的3人有，所以總共有種排法，正確；對于C，先將甲乙丙按照從左至右排好，采用插空法，先插丁有種，再插戊有種，總共有種，正確；對于D，先分組，將甲乙丙丁分成3組有種分法，再將分好的3組安排在3個社區(qū)有種方法，共有種方法，正確；故選：BCD.11.設為等差數(shù)列的前項和，若，，，則（）A.數(shù)列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結合等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質，逐項計算判斷作答.【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，即，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯誤；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正確，C錯誤；

8因為，，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.故選：BD12.設雙曲線的焦距為，離心率為e，且a，c，成等比數(shù)列，A是E的一個頂點，F(xiàn)是與A不在y軸同側的焦點，B是E的虛軸的一個端點，PQ為E的任意一條不過原點且斜率為的弦，M為PQ中點，O為坐標原點，則（）A.E的一條漸近線的斜率為B.C.（，分別為直線OM，PQ的斜率）D.若，則恒成立【答案】ABC【解析】【分析】由a，c，成等比數(shù)列，得且可求得離心率為e，求漸近線的斜率驗證選項A；求和的斜率，驗證選項B；利用點差法求驗證選項C，通過聯(lián)立方程組計算和的值，驗證選項D.【詳解】因為a，c，成等比數(shù)列，所以，所以且，解得（負根舍），又，所以，所以，即E的一條漸近線的斜率為，故A正確；不妨設F為左焦點，B為虛軸的上端點，則A為右頂點，則BF的斜率，AB的斜率，所以，所以，故B正確；

9設，，，則，作差后整理得，即，所以，故C正確；設直線，則直線，將代入雙曲線方程，得，則，，將k換成得，則與b的值有關，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.的展開式中含項的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】變換，展開式通項為，令，，計算得到答案.【詳解】，的展開式的通項為．令，則，．令，則，，

10故的展開式中含項的系數(shù)為．故答案為：14.若圓與圓外切，則的最大值為________________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)兩圓外切可得，再根據(jù)可知，點的軌跡為圓弧，圓的四分之一，而表示定點與圓弧上的動點連線的斜率，然后數(shù)形結合即可求出．【詳解】由題可得圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因為兩圓外切，可得，，可看作平面直角坐標系中的定點與圓弧上的動點連線的斜率，結合圖形可知，當點為時，最大，此時其最大值為．故答案為：.【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關系的應用，以及利用幾何意義求最值，意在考查學生的轉換能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎題．15.已知某品牌電子元件的使用壽命（單位：天）服從正態(tài)分布.（1）一個該品牌電子元件的使用壽命超過天的概率為_______________________；

11（2）由三個該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，，中至少有一個能正常工作，且每個電子元件能否正常工作相互獨立）的概率為__________________．（參考公式：若，則）【答案】①.##.②.##.【解析】【分析】由題設可知，利用正態(tài)分布的對稱性求電子元件的使用壽命超過天的概率，應用獨立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求電路在天后仍能正常工作的概率.【詳解】由題設知：，∴.由題意，要使電路能正常工作的概率.故答案為：，.16.若關于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】變換得到，設得到，設，求導得到單調區(qū)間，計算最值得到答案.【詳解】，即，，設，恒成立，函數(shù)單調遞增，故，故，設，，故，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；故，故，

12故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中，利用同構的思想，變換得到是解題的關鍵.四、解答題（本大題共6小題，共70分，請在答題卡上作答，解答須寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知為單調遞增數(shù)列，為其前項和，(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)若為數(shù)列的前項和，證明：.【答案】(1)；(2)見解析.【解析】【分析】（1）由得，所以,整理得,所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可得.（2）結合（1）可得，利用裂項相消法求得前項和，利用放縮法可得結論.詳解】試題解析：（Ⅰ）當時，,所以，即,又為單調遞增數(shù)列，所以.由得，所以,整理得,所以.所以，即,所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.(Ⅱ)

13所以.【點晴】本題主要考查數(shù)列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.18.重慶近年來旅游業(yè)高速發(fā)展，有很多著名景點，如洪崖洞、磁器口、朝天門、李子壩等.為了解端午節(jié)當日朝天門景點游客年齡的分布情況，從年齡在22～52歲之間的旅游客中隨機抽取了1000人，制作了如圖的頻率分布直方圖.（1）求抽取的1000人的年齡的平均數(shù)、中位數(shù)；（每一組的年齡取中間值）（2）現(xiàn)從中按照分層抽樣抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在的人數(shù)為，求的分布列及.【答案】(1)平均數(shù)38.75，中位數(shù)；(2)分布列見解析，【解析】

14【分析】（1）分別根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)和中位數(shù)計算；（2）根據(jù)頻率可知在取8人中有2人年齡在，6人年齡在，服從超幾何分布,,分別寫出概率,并計算期望.【詳解】解：（1）年齡平均數(shù)，中位數(shù)為（歲）.（2）因為年齡在及的頻率分別為0.15，0.45，故分層抽樣抽取8人中有2人年齡在，6人年齡在.的可能取值為0，1，2，，，，，的分布列為：012【點睛】(1)本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計算和古典概型，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.(2)先計算出每個小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積為0.5的點P，點P對應的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應的數(shù)，代表第個矩形的面積.19.經(jīng)驗表明，一般樹的直徑（樹的主干在地而以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高.由于測量樹高比測量直徑困難，因此研究人員希望由樹的直徑預測樹高.

15在研究樹高與直徑的關系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表：編號123456直徑x/cm192226293438樹高y/m5710121418（1）請用樣本相關系數(shù)（精確到0.01）說明變量x和y滿足一元線性回歸模型；（2）建立y關于x的一元線性回歸方程；并估計當樹的直徑為45cm時，樹高為多少？（精確到0.01）附參考公式：相關系數(shù)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）答案見解析（2）；【解析】【分析】（1）計算，，再根據(jù)公式計算得到相關系數(shù)，得到答案.（2）根據(jù)公式計算，，得到回歸方程，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【小問1詳解】，故，，故，

16，故和成線性正相關，滿足一元回歸模型.【小問2詳解】，，，當時，.20.如圖，在三棱柱中，．（1）證明：；（2）若，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，，證明平面，得到，再根據(jù)證明即可；（2）建立空間直角坐標系，得到各點坐標，計算兩個平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【小問1詳解】取中點，連接，，因為，，所以，，又，平面，所以平面，又平面，

17所以，又，所以.【小問2詳解】由條件，可得，所以，同理，又，平面，所以平面，以為坐標原點，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，令，則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，

18故，又，所以二面角的正弦值為.21.已知在平面內，點，點P為動點，滿足直線與直線的斜率之積為1．（1）求點P的軌跡方程，并說明表示什么曲線；（2）若直線l為上述曲線的任意一條切線，證明：點分別到直線l的距離之積為定值，并求出該定值.【答案】（1），軌跡為去掉左右頂點的雙曲線（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）設，根據(jù)，化簡得到答案.（2）設切點，聯(lián)立方程，排除，根據(jù)得到，確定切線方程為，再計算點到直線的距離得到答案.【小問1詳解】設，則，故，故軌跡為去掉左右頂點的雙曲線.【小問2詳解】設切點，顯然直線斜率存在，則設，

19則，故，當時，直線與漸近線平行，顯然不可能是切線.當時，，整理得到，故，，切線方程為，所以，故定值為.【點睛】關鍵點睛：本題考查了雙曲線的軌跡方程，雙曲線中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中，設切點確定切線方程是解題的關鍵，定值問題是?？嫉念}型，需要熟練掌握.22.已知函數(shù).（注：…是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若只有一個極值點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若存在，對與任意的，使得恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合點斜式求切線方程；(2)討論的符號，判斷的單調性，進而確定的零點；(3)要使取到最小值，則取最大，分析可得，結合零點代換處理即可.【小問1詳解】（1）當時，，故，故在點處的切線方程為；

20【小問2詳解】解：由題意知有且只有一個根且有正有負，構建，則.①當時，當時恒成立，在上單調遞增，因為，所以有一個零點，即為的一個極值點；②當時，在上恒成立，即無極值點；③當時，當；當，所以在單調遞減，在上單調遞增，故，若，則，即.因為，所以當時，，當時，，令，則，故，故在上為增函數(shù).故，故，故當時，有兩個零點，此時有兩個極值點，當時，當時恒成立，即無極值點；綜上所述：.【小問3詳解】解：由題意知，對于任意的，使得恒成立，則當取最大值時，取到最小值.

21當時，因為，故當時，的最小值為；當時，當時，，所以無最小值，即無最小值；當時，由（2）得只有一個零點，即且，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，此時，因為，所以，代入得，令，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，此時，所以的最小值為.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)求參數(shù)時，常采用分離常數(shù)法，轉化求函數(shù)最值問題.

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