四川省瀘縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理） Word版含解析

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瀘縣第一中學(xué)2023年春期高二期末考試數(shù)學(xué)（理工類）試卷第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再求其虛部即可.【詳解】由題知：，，所以的虛部為.故選：A2.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得答案【詳解】解：定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于軸對稱，所以排除AC，

1當(dāng)時，，則，令，則或（舍去）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以排除B，故選：D3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.()B.(1，+)C.(1，1)D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即得.【詳解】∵函數(shù)，，∴，由，，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.4.已知，是兩條不同的直線，是平面，且則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分又不必要條件D.充要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理，結(jié)合必要不充分條件的概念即可得出結(jié)論.【詳解】依題意得，當(dāng)，時，直線與直線的位置關(guān)系為平行或者異面，當(dāng)，時，由線面平行的判定定理可得，綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.

25.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最小值是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】列舉出算法的每一步循環(huán)，根據(jù)算法輸出結(jié)果計算出實數(shù)的取值范圍，于此可得出整數(shù)的最小值.【詳解】滿足條件，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；滿足條件，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；滿足條件，執(zhí)行第二次循環(huán)，，.滿足條件，調(diào)出循環(huán)體，輸出的值為.由上可知，，因此，輸入的整數(shù)的最小值是，故選A.【點睛】本題考查算法框圖的應(yīng)用，解這類問題，通常列出每一次循環(huán)，找出其規(guī)律，進而對問題進行解答，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6.已知點是拋物線上的一點,F是拋物線的焦點,則點M到F的距離等于()A.6B.5C.4D.2【答案】B【解析】【分析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意，,解得所以故選：B.

37.甲?乙兩機床同時加工直徑為100的零件，為檢驗質(zhì)量，從它們生產(chǎn)的零件中隨機抽取6件，其測量數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計圖如下.則（）A.甲的數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于乙的數(shù)據(jù)的平均數(shù)B.甲的數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙的數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.甲的數(shù)據(jù)的方差大于乙的數(shù)據(jù)的方差D.甲的數(shù)據(jù)的極差小于乙的數(shù)據(jù)的極差【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條形圖列舉出甲乙的數(shù)據(jù)，應(yīng)用平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的求法求出甲乙的特征數(shù)據(jù)，進而比較它們的大小即可.【詳解】由題設(shè)，甲數(shù)據(jù)為，乙數(shù)據(jù)為，所以甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，甲乙中位數(shù)均為，甲的方差，乙的方差，甲極差為，乙極差為，綜上，甲乙平均數(shù)、中位數(shù)相同，甲的方差大于乙的方差，甲的極差大于乙的極差.故A、B、D錯誤，C正確.故選：C8.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義和正態(tài)曲線的對稱性即可得到答案.

4【詳解】.故選：B.9.已知命題p：，，命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則下列命題中，是真命題的為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷命題、的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真假性規(guī)則判斷即可；【詳解】解：對于命題，當(dāng)時，故命題為假命題，所以為真命題；對于，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故命題為真命題，所以為假命題，所以為假命題，為假命題，為真命題；故選：D10.已知函數(shù).曲線在點處切線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】首先求出，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，最后利用點斜式求出切線方程；解：因為，所以，所以，，所以切點為，切線的斜率，

5所以切線方程為，即；故選：C11.已知，則下列關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】【分析】根據(jù)，取，和，，即可排除錯誤選項，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可判斷C．【詳解】解：根據(jù)，取，，則可排除、；取，，則由，，可排除．構(gòu)造函數(shù)，，則，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，所以，所以，故C正確；故選：．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．12.已知，，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，得，得，構(gòu)造函數(shù)，，求出其最小值，即可求出a的取值范圍．

6【詳解】由，得，即，記，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，記，，，，，，時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值從而求出a的取值范圍．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖是一個邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲1600個點,其中落入白色部分的有700個點,據(jù)此可估計黑色部分的面積為______________．

7【答案】9【解析】【分析】先根據(jù)點數(shù)求解概率,再結(jié)合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設(shè)可估計落入黑色部分的概率設(shè)黑色部分面積為,由幾何概型計算公式可得解得故答案為:914.3本不同的數(shù)學(xué)書與3本不同的語文書放在書架同一層，則相同科目的書不相鄰的放法共有______種．【答案】72【解析】【分析】不相鄰問題用插空法.【詳解】3本數(shù)學(xué)書的放法有種，其間產(chǎn)生4個空擋，如圖.將3本語文書插入①②③號空擋，或②③④號空擋，共有種，故同類書不相鄰的放法共有種.故答案為：.15.拋物線的焦點為，已知拋物線在點處的切線斜率為2，則直線與該切線的夾角的正弦值為______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線的斜率求解切點坐標(biāo)，然后求解切線與的正切值，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可求得結(jié)果【詳解】解：由，得，則，設(shè)點的坐標(biāo)為，則由題意可得，解得，則，所以，因為拋物線的焦點，所以，

8設(shè)切線與的夾角為，則，所以，故答案為：16.在正方體中，棱長為1，，分別為，的中點，為線段上異于，的動點，現(xiàn)有下列結(jié)論：①與為異面直線；②；③周長最小值為；④三棱錐的體積為定值.其中所有正確結(jié)論的編號是_______.【答案】①②④【解析】【分析】在正方體中，由線線，線面關(guān)系可判斷①和②；而③周長，當(dāng)為線段上異于，的動點時，顯然是中點時最?。虎苋忮F的體積可考慮底面和高是否分別為定值即可.【詳解】①在正方體中，易得與為異面直線,所以①正確；②在正方體中，易得，又,，，所以面，又面，所以，故，所以②正確；③當(dāng)移動到線段中點時，周長的最小值，此時周長，所以③錯誤；④在三棱錐中，當(dāng)在線段中移動時，底面中，不變，到

9的距離不變，所以面積為定值，又連接，交于，則易得面，所以為三棱錐的高，且為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以④正確；故答案為：①②④.【點睛】立體幾何問題中與動點相關(guān)問題，可以從一下幾點考慮:（1）找出動點所在的線段或軌跡；（2）判斷與動點相關(guān)的條件是否成立常需結(jié)合動點所在的線段或軌跡,利用線線、線面、面面位置關(guān)系求解，或線線、線面、面面位置關(guān)系的判定或性質(zhì)求解，或建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.已知函數(shù)在點（1，）處的切線方程為.（Ⅰ）求實數(shù)和的值；（Ⅱ）求在[1，3]上的最小值.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及已知切線方程即可求解；（Ⅱ）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可先判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最小值．【詳解】解：（Ⅰ）因為所以，

10由題意可得，，解得，，，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以，因為，，易得，當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值也就是最小值【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．18.在迎來中國共產(chǎn)黨成立100周年的重要時刻，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù).為了解我市脫貧家庭人均年純收入情況，某扶貧工作組對，兩個地區(qū)2020年脫貧家庭進行隨機抽樣調(diào)查，共抽取600戶作為樣本，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：地區(qū)地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元50戶200戶2020年人均年純收入未超過10000元250戶100戶假設(shè)所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過10000元相互獨立.（將頻率視為概率）（1）從地區(qū)2020年脫貧家庭中隨機抽取1戶，估計該戶人均年純收入超過10000元的概率；（2）分別從地區(qū)和B地區(qū)2020年脫貧家庭中各隨機抽取1戶，記為這2戶家庭中2020年人均年純收入未超過10000元的戶數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)的分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】(1)利用數(shù)表求出A地區(qū)人均年純收入超過10000元的頻率，由此估計概率即得；(2)確定X所有可能值，再分別求出對應(yīng)的概率列出分布列即可作答.【詳解】(1)從地區(qū)2020年脫貧家庭中隨機抽取1戶，該戶人均年純收入超過10000元的事件為M，由表格中數(shù)據(jù)知，A地區(qū)抽出的300戶家庭中，2020年人均年純收入超過10000元的有50戶，則人均年純收入超過10000元的頻率為，由此估計；

11(2)X的可能值為0，1，2，從地區(qū)2020年脫貧家庭中隨機抽取1戶，該戶人均年純收入超過10000元的事件為N，則，而M與N相互獨立，，，，所以X的分布列為：X012PX的數(shù)學(xué)期望為：.19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得，由平面幾何的知識可得，再由線面垂直的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量、平面的一個法向量為，由即可得解.

12【詳解】（1）證明：連結(jié)，如圖，∵平面，平面，∴，∵底面是平行四邊形，，∴，∵，∴平面；（2）以C為原點，為x軸，為y軸，過點C作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，∵，，∴，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量，則，取得，∵平面，∴平面的一個法向量為，則，又二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的證明及利用空間向量求二面角，考查了運算求解能力與空間思維能力，屬于中檔題.

1320.平面直角坐標(biāo)系中，點，直線：．動點到的距離比線段的長度大2，記的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)點在上，，為上異于的兩個動點，且直線，的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值，并求出該定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）依題意，線段的長度等于到：的距離，由拋物線定義可得其方程；（2）設(shè)直線方程為（），與聯(lián)立得，由“直線，的斜率互為相反數(shù)”結(jié)合韋達(dá)定理得，進而可證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知，線段的長度等于到：的距離，則點的軌跡是以為焦點，：為準(zhǔn)線的拋物線，所以，的方程為．（2）將代入得．則易知直線斜率存在，設(shè)為，知，直線方程為．由得．則，．①則，，因為直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，，則．②聯(lián)立①②，得，所以或．

14若，則的方程為，恒過點，不合題意；所以，即直線的斜率為定值．21已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，求整數(shù)a的最小值.【答案】（1）減區(qū)間是，增區(qū)間；（2）2．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由分離參數(shù)法問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出的最大值即可，利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，得最大值．【詳解】（1）由已知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴的減區(qū)間是，增區(qū)間；（2）函數(shù)的定義域是，定義域是，不等式為，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，

15設(shè)，則，時，，，又在上是增函數(shù)，，，∴存在，使得，時，，時，，，即在上遞增，在上遞減，，，，∴，∵，∴，∴整數(shù)的最小值為2．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于問題的轉(zhuǎn)化，解題方法是：用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后再用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是為參數(shù)）（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸的交點是，直線與曲線交于，兩點，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將曲線變形為，由，，

16，代入即可得到所求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）令，可得，將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，求得的兩解，由參數(shù)的幾何意義，計算即可得到所求和．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程是，即為，由，，，可得，即；（2）直線的參數(shù)方程是為參數(shù)）令，可得，，即，將直線的參數(shù)方程代入曲線，可得：，即為，解得，，由參數(shù)的幾何意義可得，．【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，注意運用，，進行方程的轉(zhuǎn)化，同時注意運用參數(shù)的幾何意義進行求解，考查方程思想的運用和運算求解能力．（選修4-5不等式選講）23.已知函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求實數(shù)的值；

17（2）若正實數(shù)滿足，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可得，然后列出方程求解，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合柯西不等式代入計算即可得到證明.【小問1詳解】，且，，解得．．．（i）當(dāng)時，由，解得（不合題意，舍去）；（ii）當(dāng)時，由，解得，經(jīng)檢驗滿足題意．綜上所述，．【小問2詳解】由（1）得．．，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．．