資源描述：
《安徽省滁州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
滁洲中學(xué)2022級(jí)高二上學(xué)期9月月考試卷數(shù)學(xué)試題時(shí)長(zhǎng)：120分鐘分值：150分考試范圍：必修一、必修二、選擇性必修一第一章和第二章2.1-2.3一、單選題（共8小題，每題5分）1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義直接得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，的共軛復(fù)數(shù)是.故選：D2.在一次籃球比賽中，某支球隊(duì)共進(jìn)行了8場(chǎng)比賽，得分分別為，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（??）A.38B.39C.40D.41【答案】B【解析】【分析】根據(jù)第75百分位數(shù)的定義計(jì)算可得答案.【詳解】8場(chǎng)比賽的得分從小到大排列為：25，29，30，32，37，38，40，42，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為.故選：B.3.若直線過點(diǎn)，其中，是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A.B.C.D.5【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)在直線上可知，結(jié)合均值不等式即可求解．【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由和都是正實(shí)數(shù)，所以，，．
所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選:B．4.若直線與直線平行，則m＝（）A.B.C.或D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意.故選：B.5.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，該函數(shù)圖象分別與軸、軸相交于、B兩點(diǎn)，與過點(diǎn)的直線相交于另外兩點(diǎn)、，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性求得，進(jìn)而求得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，由，所以，令，即，可得即，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為，即的中點(diǎn)為A，所以又因?yàn)?，所?故選：D6.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R，高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用垂直于半徑的平面去截半徑為R的半球，且球心到平面的距離為，則平面所截得的較小部分（陰影所示稱之為“球冠）的幾何體的體積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得所求球冠的體積等于圓柱體積的一半減去圓臺(tái)的體積，計(jì)算求解即可.
【詳解】∵，，，∴，∴．故選：A7.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，則（）A.2B.1C.D.前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)射影定理結(jié)合題設(shè)條件可得，故可求兩角的正切之比.【詳解】由射影定理，得．又因?yàn)?，?lián)立解得，因此．故選：A.8.如圖,已知四面體ABCD中,,,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線EF垂直,且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個(gè)多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為（）
A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】由四面體中互為異面直線的兩條棱長(zhǎng)分別相等,則可將四面體放入長(zhǎng)方體中,求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高可發(fā)現(xiàn)此長(zhǎng)方體有一個(gè)面為正方形,故四面體中有一對(duì)異面直線垂直,由平面,及在長(zhǎng)方體的位置,根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)定理可證明截面為矩形,根據(jù)相似可得出截面相鄰兩邊的和為定值,根據(jù)矩形面積,利用基本不等式即可求得截面面積最大值.【詳解】解:由題知四面體中互為異面直線的兩條棱長(zhǎng)分別相等,故可將此四面體放入長(zhǎng)方體中,如圖所示:不妨設(shè)該長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為,則有①,②,③,聯(lián)立①②③可得:,設(shè)平面與四面體的各面分別交于KL,LM,MN,KN,如圖所示:
平面,由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知平面,故平面平面平面,平面平面,平面平面,即平面平面平面平面,,,即,同理可得,故,四邊形為正方形,,即,即,,
,綜上:四邊形KLMN為矩形,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故截面面積的最大值為1.故選:A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:此題考查立體幾何中的截面問題,屬于難題,關(guān)于特殊幾何體的方法有:(1)正四面體可放在正方體中考慮;(2)四面體中互為異面直線的棱長(zhǎng)相等,可放在長(zhǎng)方體中考慮;(3)有一條棱垂直底面,可補(bǔ)成直三棱柱.二、多選題（共4小題，每題5分）9.如果，那么下列不等式一定成立是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于AC，利用不等式的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析，對(duì)于D，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由不等的性質(zhì)可得，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，得，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)樵谏线f增，，所以，所以D正確，故選：AD10.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A、B，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.A與B互斥D.A與B相互獨(dú)立
【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)概率的基本概念和獨(dú)立事件的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，故A選項(xiàng)正確；作出示意圖如下，則A與B不互斥，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，,所以事件A與B相互獨(dú)立，故B、D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11.下列選項(xiàng)正確的有（）A.“，”是假命題，則B.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是C.若存在反函數(shù)，且，則的圖象必過點(diǎn)D.已知表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】【分析】A中，把問題化為“，”是真命題，分和兩種情況求解即可；B中，根據(jù)函數(shù)圖象平移，可得到函數(shù)的圖象，從而確定其對(duì)稱中心；C中，由反函數(shù)的定義與題意知，從而可求的圖象所過點(diǎn)的坐標(biāo)；D中，根據(jù)函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可得出正確的判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椤?，”是假命題，所以“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，解得，綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心是，所以函數(shù)的圖象是函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，所以函數(shù)的對(duì)稱中心是，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，函數(shù)的反函數(shù)是，且，所以，所以的圖象必過點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由的定義知在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋?，所以在上周期?，所以的圖象如圖所示：由圖可知：函數(shù)的值域?yàn)?，選項(xiàng)D正確.故選：BD.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別為線段，，上的動(dòng)點(diǎn)（，，均不與點(diǎn)重合），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，，，使得平面
B.存在點(diǎn)，，，使得C.當(dāng)平面時(shí)，三棱錐與三棱錐體積之和的最大值為D.記，，與平面所成的角分別為，，，則【答案】AD【解析】【分析】正方體中以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令,當(dāng)時(shí)，則要使平面則需可用向量法計(jì)算判定選項(xiàng)A；=,=則++=+要使則需=即可，用三角函數(shù)判定選項(xiàng)B;當(dāng)平面時(shí)則需最大,則選項(xiàng)C可判定；由等積法得到平面的距離為進(jìn)而可得，選項(xiàng)D可判定.【詳解】正方體中以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令平面,平面又平面又平面
當(dāng)時(shí)，則要使平面則需,則，即當(dāng)時(shí)，則選項(xiàng)A正確；=,=則++=+要使則需==，=，=則中由余弦定理可得另，可得，則又則故，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)平面時(shí)則需最大，，由平面
可得則又所以最大為最大為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閯t可得=又可由等積法得到平面的距離為可得可得，選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題（共4小題，每題5分）13.若“”是“”的必要條件，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意解得：，得出，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意解得：，由于“”是“”的必要條件，則，.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.14.直線l：繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線重合，則的斜截式方程是____________.【答案】【解析】【分析】先找到直線的斜率，再由直線過點(diǎn)求出直線方程.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，則，則，所以直線，故答案為：.15.已知2023年第57屆世界乒乓球錦標(biāo)賽規(guī)定適用的乒乓球直徑為4cm.如圖，是一個(gè)正方形硬紙板，現(xiàn)有同學(xué)將陰影部分裁掉，把剩余的扇形部分制作成一個(gè)圓錐型的紙筒.若這樣的乒乓球能夠完全裝入該同學(xué)所制作的圓錐型的紙筒內(nèi)，則正方形紙板面積的最小值為________平方厘米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的內(nèi)切球，利用相似即可求解內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可求解正方形最大的邊長(zhǎng)，即可求解.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，所以扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的內(nèi)切球球心為,半徑為,作出軸截面如圖：圓錐的高，由于，所以,
要使乒乓球能放入圓錐容器，則需滿足，所以正方形的面積為，故最小值為，故答案為：16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④△面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①③【解析】分析】作出截面圖形判斷①，利用等積法可判斷②，利用坐標(biāo)法可判斷③④.【詳解】對(duì)于①，如圖直線與、的延長(zhǎng)線分別交于，連接分別交
于，連接，則五邊形即為所得的截面圖形，故①正確；對(duì)于②，由題可知，平面，平面，∴平面，故點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由正方體的棱長(zhǎng)為2可得，，，∴，，∴由，可得，所以直線到平面的距離是，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，∴，又，∴，，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，∴，整理得，∴（舍去）或，故存在點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)于④，由上知，所以點(diǎn)在的射影為，∴點(diǎn)到的距離為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴故△面積的最小值是，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③.四、解答題（共6小題，其中17邀10分，其它每題12分）17.已知為第二象限角，且.（1）求的值；
（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)為第二象限角，得到，進(jìn)而得到正切值；（2）根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，分子分母同時(shí)除以，代入即可.【小問1詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，，所以，所以【小?詳解】原式，分子分母同時(shí)除以，則原式.18.（1）求兩條平行直線3x＋4y－12＝0與mx＋8y＋6＝0之間的距離；（2）求到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線的方程．【答案】（1）3；（2）3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.【解析】【分析】（1）由兩直線平行列式可得m的值，再由平行線間的距離公式可求得結(jié)果；（2）設(shè)出平行直線系方程，由平行線間的距離公式列方程可得結(jié)果.【詳解】（1）由兩直線平行得，解得：m＝6.∴直線6x＋8y＋6＝0即為3x＋4y＋3＝0.∴兩平行直線間的距離，
（2）設(shè)所求直線方程為3x－4y＋m＝0，由兩平行線間的距離公式得，解得：m＝16或m＝－14.故所求的直線方程為：3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.19.在如圖所示的多面體中，平面，平面，為中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)作出輔助線，得到線線平行，從而證明線面平行；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量距離公式可得點(diǎn)到平面的距離是.【小問1詳解】取CD中點(diǎn)M，連接MF，AM，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以DE，又因?yàn)槠矫?，平面，所以?又因?yàn)?，所以，且MF=AB，所以四邊形ABFM為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面【小?詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，使得軸和軸的正半軸分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則，∴，，設(shè)平面BCE的法向量為，則，即，令，則，所以平面BCE的法向量為∴點(diǎn)到平面的距離.
20.在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點(diǎn)，光線經(jīng)過的重心．（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，請(qǐng)求的重心的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的周長(zhǎng)．【答案】（1）建立坐標(biāo)系見解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，確定三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案；（2）設(shè)，P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為，表示出坐標(biāo)，根據(jù)光線反射原理可知共線，結(jié)合重心坐標(biāo)求得答案；
（3）根據(jù)對(duì)稱知識(shí)可知的周長(zhǎng)即為，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得答案.【小問1詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，故的重心的坐標(biāo)為，即；【小問2詳解】設(shè)，P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為，則，設(shè)，直線的方程為，則，解得，即，由光的反射原理可知共線，且光線經(jīng)過的重心，故，解得或（舍去），故；【小問3詳解】由（2）可得，由題意可知，故的周長(zhǎng).
21.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若．（1）求的值;（2）若且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求的面積．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）變形得到，由正弦定理得到，得到答案；（2）由題意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最小，進(jìn)而由三角形面積求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理，得，即．【小?詳解】由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最小，此時(shí)，所以，所以的面積為．
22.甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍，已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同．（1）求乙僅參加兩場(chǎng)比賽且連負(fù)兩場(chǎng)的概率；（2）求甲獲得冠軍的概率；（3）求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求得答案；（2）確定甲獲得冠軍的比賽情況，求得每種情況的概率，即可求得答案；（3）分類討論乙的決賽對(duì)手是誰，求出每種情況下的概率，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，即得答案.【小問1詳解】由題意知乙獲僅參加兩場(chǎng)比賽連負(fù)兩場(chǎng)，即第1、4場(chǎng)比賽皆負(fù)，概率為；【小問2詳解】甲要獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種：1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，故甲獲得冠軍的概率為；【小問3詳解】若乙的決賽對(duì)手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有2種情況：甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝；
所以甲乙在決賽第二次相遇概率為；若乙的決賽對(duì)手是丙，則兩人只可能在第3場(chǎng)和第6場(chǎng)相遇，兩人參加的比賽結(jié)果有2種情況：乙1勝3勝，丙2勝3負(fù)5勝；乙1勝3負(fù)5勝，丙2勝3勝；同時(shí)要考慮甲在第4場(chǎng)和第5場(chǎng)的結(jié)果，故乙丙在第3場(chǎng)和第6場(chǎng)相遇的概率為，若乙的決賽對(duì)手是丁，情況和丙一樣，故乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于第（3）問，要討論乙的決賽對(duì)手是誰，并能確定兩人是第二次相遇的比賽結(jié)果情況，即確定每場(chǎng)比賽的勝負(fù)情況，從而進(jìn)行解答.
