湖南師范大學附屬中學2023-2024學年高二上學期入學考試數(shù)學 Word版含解析.docx

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湖南師大附中2023-2024學年度高二第一學期入學考試數(shù)學試卷時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合，再根據(jù)并集的運算求解．【詳解】∵集合，，∴．故選:B．2.已知復數(shù)（，是虛數(shù)單位），若，則的虛部是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的模求出，利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法化簡，根據(jù)虛部的定義即可求解．【詳解】∵復數(shù)（，是虛數(shù)單位），若，∴，解得.∴，故的虛部是.故選：B.3.下列命題錯誤的是（） A.“”是“”的充分不必要條件B.“，”是“”的必要不充分條件C.對于命題p：，使得，則是：，均有D.命題“，”的否定形式是“，”【答案】D【解析】【分析】利用充分條件必要條件的概念，結合一元二次方程的求解及三角函數(shù)的求值判斷AB；根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題判斷CD.【詳解】由解得或，所以由“”能推出“”，但由“”不能推出“”，則“”是“”的充分不必要條件，故A正確；當，即時，，故，則充分性不成立，若，則，，可知必要性成立，則“，”是“”的必要不充分條件，故B正確；根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，對于命題p：，使得，則是：，均有，故C正確；命題“，”的否定形式是“，”，故D錯誤.故選：D.4.已知扇形的周長為10cm，面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A.1或4B.或8C.1D.【答案】D【解析】【分析】設半徑為，弧長為，由已知得出方程組，解方程組，然后根據(jù)弧長公式，求出圓心角，檢驗，即可得出答案. 【詳解】設扇形圓心角為，半徑為，弧長為.由已知可得，，解得或.當時，，舍去；當時，.綜上所述，.故選：D.5.在空間中，l，m是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面的位置關系及判定方法求解.【詳解】若，，，則或異面，故A錯誤；若，，則或，故B錯誤；若，，，可能有，故C錯誤；若，，則，又，則，故D正確，故選：D.6.函數(shù)的大致圖象為（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，再根據(jù)特殊值的正負，再排除選項，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，則為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，故排除A，C，又，故排除B，故選：D.7.天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為，用數(shù)字0，1，2，3表示下雨，數(shù)字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由計算機產生如下20組隨機數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（）A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8【答案】B【解析】【分析】由已知列舉出代表今后三天都不下雨的隨機數(shù)，以及今后三天都不下雨的隨機數(shù)個數(shù)，利用古典概型和對立事件的概率求解即可．【詳解】代表今后三天都不下雨的隨機數(shù)有977，864，458，569，556，488，共6組，記“今后三天中至少有一天下雨”為事件，“今后三天都不下雨”為事件，則與為對立事件.所以，故選：B.8.下列命題不正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.向量，共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得成立 C.在中，，，，則該三角形不存在D.若，，為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】A選項，根據(jù)向量的平行和共線的關系進行判斷；B選項，根據(jù)向量的共線定理進行判斷；C選項，根據(jù)正弦定理進行判斷；D選項，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，結合夾角的范圍計算參數(shù)范圍.【詳解】若，則共線，，則共線，由于，，是非零向量，則共線，于是，故A正確；若向量為零向量，為非零向量，則，共線時，不存在實數(shù)，使得成立，故B不正確；在中，，，，由正弦定理得，解得，所以該三角形不存在，故C正確；若，，又不同時成立，則，又為銳角，則，解得，當共線時，根據(jù)共線的充要條件：，得，說明時兩個向量不可能共線，于是，故D正確．故選:B.二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列各式中值為1的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】A.利用兩角和的正切公式求解判斷；B.利用二倍角的正弦公式求解判斷；C.利用兩角差的正弦公式求解判斷；D.利用二倍角的余弦公式求解判斷. 【詳解】A.，故正確；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，故正確.故選：AD10.下列命題中，正確的有（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式性質及作差法比大小直接判斷.【詳解】A錯誤，，則，B正確，由得，又，故成立，C錯誤，由得，又，則，D正確，由得，又，故，即成立.故選：BD.11.2020年，我國全面建成小康社會取得偉大歷史性成就，脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利.下圖是2013—2019年我國農村減貧人數(shù)(按現(xiàn)行農村貧困標準統(tǒng)計)統(tǒng)計圖，2019年末我國農村貧困人口僅剩的551萬人也在2020年現(xiàn)行標準下全部脫貧.以下說法中正確的是（） A.2013—2020年我國農村貧困人口逐年減少B.2013—2019年我國農村貧困人口平均每年減少了1300萬人以上C.2017年末我國農村貧困人口有3046萬人D.2014年末與2016年末我國農村貧困人口基本持平【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐一判斷可得選項.詳解】解：由題可知，2013—2020年我國農村每年減貧人數(shù)均大于0，因此貧困人口逐年減少，故選項A正確；2013—2019年我國農村每年減貧人數(shù)的平均值為(萬人)，又，故選項B正確；2017年末我國農村貧困人口為(萬人)，故選項C正確；由于2013—2019年我國農村貧困人口每一年都大量減少，故選項D錯誤.故選：ABC.12.如圖，在棱長為2的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E、F為CD上任意兩點，且EF的長為1，則下列四個值中為定值的是（）A.點P到平面QEF的距離B.二面角的大小C.直線PQ與平面PEF所成的角D.三棱錐的體積【答案】ABD【解析】【分析】因為，則平面QEF也就是平面，即可判斷A；根據(jù)二面角的定義可以判斷B；根據(jù)線面角的定義可判斷C；根據(jù)等底同高的三角形面積相等及A中的結論，結合棱錐的體積公式可判斷D. 【詳解】A中，因為，則平面QEF也就是平面，顯然點P到平面的距離是定值，所以點P到平面QEF的距離為定值；B中，因為，Q為上任意一點，E，F(xiàn)為CD上任意兩點，所以二面角P－EF－Q的大小即為二面角的大小，為定值．C中，因為Q是動點，PQ的長不固定，而Q到平面PEF的距離為定值，所以PQ與平面PEF所成的角不是定值；D中，因為△QEF面積是定值(EF為定長，點Q到EF的距離就是點Q到CD的距離，也是定長，即底和高都是定值)，再根據(jù)A中的結論，即點P到平面QEF的距離也是定值，所以三棱錐P－QEF的高也是定值，所以三棱錐P－QEF的體積是定值；故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.事件A、B是相互獨立事件，若，，，則實數(shù)n的值等于______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)概率的性質及獨立事件的乘法公式求解.【詳解】∵事件A、B是相互獨立事件，∴，∴，∴.故答案為：.14.某年級120名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果分成5組：，，，，，已知各組頻數(shù)之比為，那么成績的第70百分位數(shù)約為______秒．【答案】【解析】【分析】設成績的第70百分位數(shù)為，再估計成績的第70百分位數(shù)所在的區(qū)間，然后由百分位數(shù)的定義列式求解即可．【詳解】設成績第70百分位數(shù)為， ∵測試結果分成5組：，，，，,且各組頻數(shù)之比為，∴，，∴，∴，解得（秒）.則成績的第70百分位數(shù)約為秒.故答案為:.15.設點P在內且為的外心，，如圖.若的面積分別為，x，y，則的最大值是________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)奔馳定理可得，等式兩邊同時平方，結合題意和外心的定義可得，利用基本不等式計算即可求解.【詳解】根據(jù)奔馳定理得，，即，平方得，又因為點P是的外心，所以，且，所以，，解得，當且僅當時取等號.所以.故答案為：. 16.求“方程的解”有如下解題思路：構造函數(shù)，其表達式為，易知函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，且，故原方程有唯一解．類比上述解題思路，不等式的解集為______．【答案】．【解析】【分析】引入函數(shù)，由其單調性解方程．【詳解】設，它在上嚴格單調遞增，不等式，即，所以，得，解得：或，所以不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設的內角所對邊的長分別是，且，，．（1）求a的值；（2）求的值．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角公式可得，由正弦定理與余弦定理即可求解；（2）利用余弦定理求得，進而求得，利用兩角差的余弦公式即可求解.【小問1詳解】由可得， 結合正弦定理與余弦定理可得：，即，即，解得.【小問2詳解】由余弦定理可得：，又，所以，故.18.用斜二測畫法畫一個水平放管的平面圖，其直觀圖如圖所示，已知，，，且．（1）求原平面圖形ABCD的面積；（2）將原平面圖形ABCD繞BC旋轉一周，求所形成的幾何體的表面積和體積．【答案】（1）12（2）表面積為，體積為【解析】【分析】（1）根據(jù)直觀圖還原平面圖形ABCD為一個直角梯形，再利用直角梯形的面積公式求解；（2）將原平面圖形ABCD繞BC旋轉一周，所得幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐，再結合圓柱和圓錐的表面積和體積公式求解．【小問1詳解】還原平面圖形ABCD，如圖，因為，，，且，所以，，，且，，原平面圖形ABCD為直角梯形，故； 【小問2詳解】將原平面圖形ABCD繞BC旋轉一周，所得幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐，如圖，其中圓柱的底面半徑為3，高為6，圓錐的底面半徑為3，高為4，母線長為5，所以幾何體的表面積為，幾何體的體積為19.某學校高一年級在期末考試成績中隨機抽取100名學生的數(shù)學成績、按成績分組，得到的頻率分布表如下所示．組號分組頻數(shù)頻率第1組50.05第2組350.35第3組①0.30第4組200.20第5組10②合計1001.00（1）請先求出頻率分布表中①，②位置相應數(shù)據(jù)，并估計這次考試中所有同學的平均成績；（2）為了解學生的學習狀態(tài)，年級決定在第3，4，5組中用分層抽樣抽取6 名學生作為第一批座談對象，第3，4，5組每組各有多少名學生是座談對象？如果年級決定在這6名學生中隨機抽取2名學生單獨交流，求第4組有且只有一名學生被選中的概率．【答案】（1）①對應的數(shù)據(jù)為，②對應的數(shù)據(jù)為，估計這次考試中所有同學的平均成績是99分；（2）第3，4，5組各有名學生是座談對象，第4組有且只有一名學生被選中的概率為.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率頻數(shù)樣本容量，頻數(shù)頻率樣本容量，結合表格中的數(shù)據(jù)，可得①②處的數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算第3，4，5組學生總數(shù)，由此計算出抽樣比，進而根據(jù)第第3，4，5組人數(shù)可得抽樣中應抽取的學生人數(shù)；求出在這6名學生當中隨機抽取2名進行訪談所包含的基本事件個數(shù)及滿足第4組中至少有一名學生被抽到的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【小問1詳解】由題可知,第3組的頻數(shù)為人,第5組的頻率為,故頻率分布表中①對應的數(shù)據(jù)為，②對應的數(shù)據(jù)為.頻率分布表得這100名學生的數(shù)學平均成績是:.所以估計這次考試中所有同學的平均成績是99分.【小問2詳解】因為第3,4,5組共有60名學生,所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生,第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3，4，5組各有名學生是座談對象.設第3組的3位同學為,第4組的2位同學為,第5組的1位同學為,則從六位同學中抽兩位同學有15種情形如下: 其中第4組的2位同學有且只有一名同學入選的有:，，，，共8種情形,所以其中第4組的2位同學有且只有一位同學入選的概率為.20.已知向量，，函數(shù)（其中），函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線．（1）求的值；（2）若且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得的解析式，由對稱軸列式求解即可；（2）由（1）可得，，進而可得，由兩角和的正弦公式可得答案．【小問1詳解】由題意得，∵函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線，∴，得，∵，∴．【小問2詳解】由（1）可得， 由得，即，結合，，得，∴．21.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，平面平面ABCD．（1）求證：平面ABCD；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接AC交BD于點O，易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，利用面面垂直的性質定理可得出AC⊥平面PBD，從而AC⊥PD，又AC⊥PD，利用線面垂直的判定定理可得結論；（2）以O為坐標原點，OC為x軸，OD為y軸，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量的夾角即可得出．【小問1詳解】連接AC交BD于點O，由平面幾何知識易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，BD是交線，ACì平面ABCD，∴AC⊥平面PBD，又PDì平面PBD，∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB＝A，AC,ABì平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD； 【小問2詳解】如圖，以O為坐標原點，OC為x軸，OD為y軸，建立如圖空間直角坐標系，PD＝1，則，易知是平面PBD的一個法向量，，設是平面PBC的一個法向量，則，即，取，∴，∵二面角的平面角為銳角，∴二面角的平面角的余弦值為．22已知函數(shù)，．（1）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)不斷，證明：函數(shù)有且只有一個零點，且．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得，從而問題轉化為當時， 恒成立，分、、進行解答即可；（2）對進行分類討論，分為：和，利用零點存在定理結合函數(shù)的性質，即可求解.【小問1詳解】，因為，恒成立，所以當時，恒成立，當時，成立，當時，成立，當時，在單調遞減，則，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．小問2詳解】函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷．①當時，因為與在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞增．因為，，所以，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，存在，使得，所以在區(qū)間上有且只有一個零點；②當時，因為單調遞增，所以，因為，所以，所以在區(qū)間上沒有零點．綜上，有且只有一個零點．因為，即， 所以，，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，所以．【點睛】關鍵點睛：第二問對進行分類討論時，①當時，因為與在上單調遞增，再結合零點存在定理，即可求解；②當時，恒成立，所以，在上沒有零點；最后利用，得到，然后化簡可求解.