湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

2023-2024-1長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，求出函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得或，即或，由有意義得，解得，即，所以或.故選：C2.若,則的共軛復(fù)數(shù)為()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，故，故選：B.3.設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞|y|”是“x＞y”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分、先判斷是否滿足充分性，再判斷是否滿足必要性，即可得答案. 【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由x＞|y|可得；當(dāng)時(shí)，由x＞|y|可得；故充分性滿足；當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由，x＞0，不可得，如，但，故必要性不滿足；所以“x＞|y|”是“x＞y”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向下，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以有，故選：B5.已知，且，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及和角的余弦公式求解作答. 詳解】由，得，又，則，而，，則，所以故選：A6.已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，且該圓錐的體積為，則（）A.B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用表示出圓錐底面圓半徑及高，再利用錐體的體積公式求解作答.【詳解】令圓錐底面圓半徑為，則，解得，從而圓錐的高，因此圓錐的體積，解得.故選：C7.在△ABC中，，則這個(gè)三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可確定三角形的形狀.【詳解】由余弦定理可得：，， 代入中，得，等式兩邊同乘得：，移項(xiàng)合并得：，整理得：，即，可得或，則三角形為等腰三角形或直角三角形，故選：D.8.已知，，，則的最小值為（）A.7B.C.D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造齊次式結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故選：A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類(lèi)保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種的參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下統(tǒng)計(jì)圖例，則以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（） A.周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B.30周歲以上參保人群約占參?？?cè)巳旱腃.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表給出信息逐個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A：由第一個(gè)圖可得54周歲及以上的參保人數(shù)最少，占比為，其余年齡段的參保人數(shù)均比周歲人群參保人數(shù)多.由第二個(gè)圖可得，因?yàn)?，所以周歲人群參?？傎M(fèi)用最少，故A對(duì).對(duì)于B：由第一個(gè)圖可得，30周歲以上的參保人群約占參?？?cè)巳旱?，故B錯(cuò).對(duì)于C：由第一個(gè)圖可得，54周歲及以上的參保人數(shù)占參?？?cè)藬?shù)的，所以C對(duì).對(duì)于D：由第三個(gè)圖可得，丁險(xiǎn)種參保人群約占參?？?cè)巳旱模宰钍芮嗖A，所以D對(duì).故選：ACD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點(diǎn)，則（）A.B.平面BEF C.直線AB交平面EFC于點(diǎn)P，則D.點(diǎn)到平面BEF的距離為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于ABD，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個(gè)分析判斷即可，對(duì)于C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點(diǎn)，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，所以B正確，對(duì)于C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，因?yàn)镕為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椤?，所?因?yàn)椋?，所以，所以C正確， 對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面BEF的距離為，所以D正確，故選：BCD11.下列各式中，值為的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)三角恒等變換及特殊角的函數(shù)值一一計(jì)算即可.【詳解】A項(xiàng)，，錯(cuò)誤；B項(xiàng)，，正確；C項(xiàng)， ，錯(cuò)誤；D項(xiàng)，，正確.故選：BD.12.若函數(shù)滿足：①，恒有，②，恒有，③時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.，，的最大值為4C.的單調(diào)遞增區(qū)間為，D.若曲線與的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】探討函數(shù)的周期和對(duì)稱性，結(jié)合條件③，求出的值判斷A；求出函數(shù)的最值判斷B；分析函數(shù)在上的單調(diào)性判斷C；利用數(shù)形結(jié)合列不等式求解判斷D作答.【詳解】由，得，則函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，所以，A錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱性和周期性知，，，所以，，B正確； 由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，而的周期為4，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，C正確；因?yàn)榍€恒過(guò)定點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，觀察圖象知，曲線與的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】將代入結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以＝?故答案為：.14.如圖，在矩形ABCD中，，AC與BD的交點(diǎn)為M，N為邊AB上任意點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為_(kāi)_______． 【答案】##【解析】【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向?yàn)閤軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，，則，因?yàn)?，所以，即的最大值為．故答案為：?5.甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)以往比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.8，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】甲隊(duì)以4∶1獲勝包含的情況有:①前5場(chǎng)比賽中，第一場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，②前5場(chǎng)比賽中，第二場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，③前5場(chǎng)比賽中，第三場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，④前5場(chǎng)比賽中，第四場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，由此能求出甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率.【詳解】甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.8，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲隊(duì)以4：1獲勝包含的情況有： ①前5場(chǎng)比賽中，第一場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，②前5場(chǎng)比賽中，第二場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，③前5場(chǎng)比賽中，第三場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，④前5場(chǎng)比賽中，第四場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為：.故答案為：0.3216.已知的邊，且，則的面積的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)三角恒等變形和正弦定理變形得到，再利用三角形面積公式得，再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的最大值【詳解】由題意，設(shè)中角，，所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)度分別為，，，則有，由可得，整理得，∴，∵，∴，∴，由正弦定理可得，∴，則有.故的面積.∵，∴，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值. 故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)和解三角形相結(jié)合的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是利用三角恒等變形和正弦定理得到，為后面轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)求最值奠定基礎(chǔ).四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）若，求在的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）在上的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】(1)首先利用二倍角公式及輔助角公式將化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）轉(zhuǎn)化為的最小值為，由可得答案．【小問(wèn)1詳解】，令，解得，在上的遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，得到，故函數(shù)在上的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】由，得， ∵在上的最小值為，∴的最小值為，故，解得．18.如圖，在直三棱柱中，，D是AC的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）若異面直線AC和所成角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4.【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用中位線定理證明平面．（2）利用幾何法求出異面直線和所成角的余弦，結(jié)合正弦定理及三角形面積公式求得，再利用割補(bǔ)法求出體積作答.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，于是，又平面，平面，所以平面. 【小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，由，知為銳角，顯然，則為異面直線和所成角，即，由，得，，，直三棱柱的體積，，所以.19.某校舉行了一次高一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，筆試成績(jī)?cè)诜忠陨希òǚ?，滿分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績(jī)低于分的學(xué)生中，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．【答案】（1）平均數(shù)為，中位數(shù)約為（2） 【解析】【分析】（1）根據(jù)所有直方圖的面積之和為可求得的值，將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全加可得樣本的平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的定義可求得樣本的中位數(shù)；（2）計(jì)算出分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】由，解得，這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數(shù)為．【小問(wèn)2詳解】分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分?jǐn)?shù)都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分?jǐn)?shù)都在的概率為.20.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，，已知，．（1）求的面積；（2）若，求c．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根據(jù)面積公式及余弦定理得，再求出，即可求出，最后由面積公式計(jì)算可得.（2）由正弦定理求出，即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，，則，即，由余弦定理得，即，有，又，則，，所以的面積.【小問(wèn)2詳解】由正弦定理得，因此，而，解得，所以.21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)N使平面平面成立？如果存在，求出 ；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)判定推理作答.（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，再作出直二面角，并探討線段長(zhǎng)度關(guān)系，借助比例式求解作答.【小問(wèn)1詳解】由側(cè)面是正三角形，M是的中點(diǎn)，得，由正方形，得，而平面平面，平面平面，且平面，則平面，又平面，于是，而平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，連接，連接，連接，于是，由正方形，得，則，令，顯然是正的中心，，，又平面平面，平面平面，則平面，平面，即有，而平面，則平面，平面，在平面內(nèi)過(guò)作交于， 顯然，而平面，因此平面，連接并延長(zhǎng)交于，連接，于是平面平面，過(guò)作，則有，，，，，則，又，，從而點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，過(guò)作交于，于是，即，顯然，因此，所以在棱上存在點(diǎn)N使平面平面成立，.22.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給條件得到關(guān)于a，b的方程組，求解即可；（2）首先得到且，再求出在上的最大值，依題意只需，即，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求出m的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】 依題意可，解得，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榍?，所以且，因?yàn)椋栽诘淖畲笾悼赡苁腔?，因?yàn)樗?，只需，即，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，∴，即，所以．所以的取值范圍是．