山東省青島市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2022-2023學(xué)年度高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用集合的交并集運(yùn)算計(jì)算，再判斷元素個(gè)數(shù).【詳解】，元素個(gè)數(shù)為2，故選：C.2.下述正確的是（）A.若為第四象限角，則B.若，則C.若的終邊為第三象限平分線，則D.“”是“”的充要條件【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，利用三角函數(shù)定義即可判斷；對(duì)于B，求出的值即可判斷；對(duì)于C，算出的范圍即可判斷；對(duì)于D，利用充分，必要的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】對(duì)于A，若為第四象限角，根據(jù)三角函數(shù)定義可得，故不正確；對(duì)于B，若，則，故不正確；對(duì)于C，若的終邊為第三象限平分線，則，此時(shí)，故不正確；對(duì)于D，由可得，即，滿足充分性；由可得，所以，滿足必要性，故正確故選：D 3.函數(shù)的定義域是A.(0,1]B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】由題意知，則函數(shù)的定義域是.故選D.4.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，，解得，驗(yàn)證為奇函數(shù).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且，所以.驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，，，滿足題意，故選：B5.若，則下列不等式中正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得：，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則有，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； 因?yàn)?，所以，兩邊同時(shí)除以2可得：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.6.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.直線是圖象的一條對(duì)稱軸D.在上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可逐一檢驗(yàn)【詳解】對(duì)于A，由可得周期，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故D正確，故選：D7.若定義在上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且，則（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用解方程組的方法求出函數(shù)解析式，根據(jù)周期即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，則，，用換，得，聯(lián)立解得，所以，，，，是以為周期的函數(shù)..故選：C8.已知函數(shù)，對(duì)任意且恒成立，且是偶函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，函數(shù)解析式變換，函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)，，所以，所以與異號(hào)， 所以與同號(hào)，所以在是增函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以關(guān)于直線軸對(duì)稱，，，又，所以所以所以.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】使用誘導(dǎo)公式化簡，用同角三角函數(shù)關(guān)系求值.【詳解】，則，，故A正確；，故B錯(cuò)誤； ，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.若，則函數(shù)為偶函數(shù)B.若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減C.若，則函數(shù)的定義域D.若，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；對(duì)于B，利用冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，利用根號(hào)內(nèi)大于等于0即可判斷；對(duì)于D，利用零點(diǎn)存在定理即可判斷【詳解】對(duì)于A，若，則，定義域?yàn)镽，所以，所以為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，利用冪函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故正確；對(duì)于C，若，則，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，故正確；對(duì)于D，若，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)不會(huì)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增， 且，由零點(diǎn)存在定理可得在僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故正確故選：BCD11.下述正確的是（）A.若，則最大值是25B.若，則的最大值是C.若，則的最小值是4D.若，則的最小值是12【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷各選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A，或時(shí)，，因此最大值在時(shí)取得，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；選項(xiàng)B，，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，最大值為，B正確；選項(xiàng)C，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，由于等號(hào)不成立，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，則，，， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，在即時(shí)，取得最小值0，綜上，即時(shí)，取得最小值，D正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.是增函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A、B：根據(jù)題意直接賦值運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；對(duì)D：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)A：令，可得，解得，A正確；對(duì)B：∵當(dāng)時(shí)，，則，∴，B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，可得，即，設(shè)，則，可得，則，即，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，C正確；對(duì)D：∵函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ACD. 三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,冪的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】．故答案為：．14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)為，線段繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)后，點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得再根據(jù)題意可知轉(zhuǎn)動(dòng)后點(diǎn)在角的終邊上，且，根據(jù)誘導(dǎo)公式求出即可；【詳解】設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，又，則，線段繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)后，此時(shí)點(diǎn)在角的終邊上，且，所以此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15.若，則___________.【答案】1【解析】【分析】由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解. 【詳解】由可得.故答案為：116.已知函數(shù)，若在時(shí)恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷是單調(diào)遞減函數(shù)且，則題意可轉(zhuǎn)化成在時(shí)恒成立，設(shè)，對(duì)稱軸為，分兩種情況即可求解【詳解】因?yàn)?，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，且，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可得是單調(diào)遞減函數(shù)，而所以在時(shí)恒成立可轉(zhuǎn)化成在時(shí)恒成立，可整理得在時(shí)恒成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為， 此時(shí)，當(dāng)，恒成立，滿足題意，所以由可得，所以，解得，因?yàn)?，所以；?dāng)，的對(duì)稱軸為，則，解得，所以或，所以或，因?yàn)?，所以或，綜上所述，的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題得到在時(shí)恒成立后，關(guān)鍵是討論對(duì)稱軸是否在內(nèi)，四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知全集為.（1）求；（2）若，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用補(bǔ)集和交集的定義即可求解；（2）由可得，然后列出不等式即可.【小問1詳解】因，，所以或，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，故的取值范圍?18.已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式在上恒成立問題運(yùn)算求解；（2）分類討論兩根大小解一元二次不等式.【小問1詳解】由，可得對(duì)恒成立，則，解得，故的取值范圍.【小問2詳解】由題意可得：，令，可得或， 對(duì)于不等式，則有：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.已知函數(shù)是的一個(gè)零點(diǎn).（1）求；（2）若時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將零點(diǎn)代入計(jì)算得，結(jié)合得；(2)先算出，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出，進(jìn)一步得，由題意可知參數(shù)范圍即為函數(shù)值域.【小問1詳解】由題意，則，.【小問2詳解】由（1）得，則，，則， 方程有解，則.20.已知函數(shù)且的圖象過點(diǎn).（1）求的值及的定義域；（2）求在上的最大值；（3）若，比較與的大小.【答案】（1），定義域?yàn)椋唬?）最大值是，（3）．【解析】【分析】（1）由求得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得定義域；（2）函數(shù)式化簡為只含有一個(gè)對(duì)數(shù)號(hào)，然后由二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得最大值；（3）指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式，然后比較的大小，并由已知得出的范圍，在此范圍內(nèi)由的單調(diào)性得大小關(guān)系．【小問1詳解】由已知，，，定義域?yàn)?；【小?詳解】，，，則，所以，時(shí)取等號(hào)，最大值為；【小問3詳解】 ，，，，，，所以，，則，，∵，所以，，即，，，所以，，∵在上是增函數(shù)，又在時(shí)是減函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，∴．21.2022年卡塔爾世界杯剛結(jié)束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球賽事，還有靈巧可愛、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范圍內(nèi)收獲了大量的粉絲，開發(fā)商設(shè)計(jì)了不同類型含有拉伊卜元素的擺件、水杯、鑰匙鏈、體恤衫等.某調(diào)查小組通過對(duì)該吉祥物某擺件官網(wǎng)銷售情況調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該擺件在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天記）每件的銷售價(jià)格（單位：百元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式近似滿足（為正常數(shù)），日銷售量（件）與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（天）510152530（件）115120125115110已知第10天的日銷售收入為132百元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①，②，③，④.請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述日銷售量（單位：件）與時(shí)間（天）的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)解析式；（3）求該吉祥物擺件的日銷售收入（單位：百元）的最小值. 【答案】（1）（2）選②，.（3）132百元【解析】【分析】（1）根據(jù)第10天該商品的日銷售收入為132元，代入即可得解；（2）據(jù)所給數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，而①，③，④中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故只能選②，再代入題表數(shù)據(jù)即可得解；（3）由（2）可得，分類討論求最小值即可.【小問1詳解】由題意得，解得．【小問2詳解】由題表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，而①，③，④中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故只能選②，即．由題表可得，，即解得故．小問3詳解】由（2）知∴當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且；當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減的，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且．綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且．故該商品的日銷售收入的最小值為132百元．22.已知函數(shù)，對(duì)且，恒有（1）求和的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).【答案】（1）的增區(qū)間是，減區(qū)間是，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義結(jié)合已知恒等式得出的單調(diào)區(qū)間，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，然后由（1）得在上的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理得其有唯一零點(diǎn)，利用（1）的結(jié)論和不等式的性質(zhì)得時(shí)，，綜合后可證明結(jié)論成立．【小問1詳解】對(duì)且即時(shí)，，時(shí)，，，則時(shí)，，時(shí)，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上是減函數(shù)，又，設(shè)，則，則，所以在上是減函數(shù)，同理在上是增函數(shù)，綜上，的增區(qū)間是，減區(qū)間是，的增區(qū)間是，減區(qū)間是； 【小問2詳解】設(shè)，，由（1）知時(shí)，遞減，遞增，設(shè)，，即，所以在上是減函數(shù)，又，，所以存在唯一的，使得，時(shí)，由（1）知，即，，所以，所以在上無零點(diǎn)，綜上，只有一個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明兩個(gè)函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)問題，可把兩函數(shù)解析式作差構(gòu)成新函數(shù)，證明新函數(shù)有唯一零點(diǎn)，為此可確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理給予證明，本題函數(shù)在上由零點(diǎn)存在定理證明零點(diǎn)的唯一性，在上由不等式性質(zhì)證明其函數(shù)值恒為負(fù)，從而無零點(diǎn)．