云南省開遠市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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開遠市第一中學(xué)校2023年秋季學(xué)期高二年級開學(xué)假期作業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試滿分150分，考試時間120分鐘．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合M，根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.【詳解】,,故故選：B.2.已知集合，從集合中任取不同的兩個數(shù)作為點的坐標，則事件“點落在軸上”包含的基本事件共有（）A.個B.個C.個D.個【答案】A【解析】【分析】列舉出滿足條件的點的坐標，即可得解.【詳解】“點落在軸上”包含的基本事件有：、、、、、、，共個.故選：A. 3.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算以及復(fù)數(shù)的除法，即可求得答案.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)z滿足，即，故選：C4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的部分圖像大致為（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】研究函數(shù)奇偶性，結(jié)合函數(shù)部分區(qū)域函數(shù)值的正負，即可判定選項.【詳解】定義域為且關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點對稱；當時令，可得，所以時，，時,結(jié)合圖形可知A選項正確.故選：A.6.在中，若為邊上的中線，點在上，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則表示向量.【詳解】如圖所示，在中，因為為邊上的中線， 所以為的中點，所以由平行四邊形法則有：，又點在上，且所以，所以，故選：A.7.天文學(xué)上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強度，目視星等衡量觀測者看到的天體亮度，可用近似表示絕對星等M，目視星等m和觀測距離d（單位：光年）之間的關(guān)系．已知天狼星的絕對星等為1.45，老人星的絕對星等為﹣5.53，在地球某地測得天狼星的目視星等為﹣1.45，老人星的目視星等為﹣0.73，則觀測者與天狼星和老人星間的距離比約為（）（100.54≈0.288，101.54≈34.67）A.0.288B.0.0288C.34.67D.3.467【答案】B【解析】【分析】利用題中的數(shù)據(jù)，設(shè)出地球與天狼星的距離為d1，地球與老人星的距離為d2，即可解出．【詳解】設(shè)地球與天狼星距離為d1，地球與老人星的距離為d2，由題意可得，所以， 所以，，故選：B．8.已知正三棱錐的四個頂點都在半徑為R的球面上，且，若三棱錐的體積為，則該球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取的中心，設(shè)球心為，先由三棱錐的體積求出棱錐的高為，再由勾股定理求出球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】由題意得，為等邊三角形，取的中心，設(shè)球心為，易得共線，設(shè)三棱錐的高為，，則，則，又，由正弦定理得，，在中，，即， 解得，則球的表面積為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性對選項逐一分析判斷.【詳解】A，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故排除A；B，函數(shù)是上的奇函數(shù)也是減函數(shù)，故B正確；C，函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，但在和上是減函數(shù)，在定義域上不具有單調(diào)性，故排除C；D，函數(shù)是上的奇函數(shù)也是減函數(shù)，故D正確.故選：BD10.若，則（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，判斷不等式是否成立.【詳解】需要，不能滿足，A選項錯誤；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當時，有，B選項正確；由冪函數(shù)性質(zhì)，當時，有，即，C選項正確；當時，滿足，但不成立，D選項錯誤.故選：BC 11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當時，的值域為C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)中，，的幾何意義，求得的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，逐一分析選項即可．【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因為，所以，所以，，即，，又，所以，所以，對于B，當時，，所以， 所以的值域為，故B錯誤；對于C，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；對于D，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，因為當時，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確．故選：ACD．12.如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點E，點F為棱CD的中點，則（）A.三點共線B.異面直線BD與所成的角為C.點到平面的距離為D.過點的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】由題意可證得三點都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則的長度就是點到平面的距離，求解可判斷C；取的中點，因為，所以等腰梯形 就是過點的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因為為底面ABCD的中心，所以為BD和AC的中點，則，因為平面平面，所以平面平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點平面，所以也是平面與平面的公共點，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；因為平面平面ABCD，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線BD與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因為平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以， 又，所以,即點到平面的距離為，故C正確；取的中點，連，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，如圖：因為，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知事件A和B相互獨立，且，則__________．【答案】【解析】【分析】由相互獨立事件的概率乘法公式計算即可.【詳解】事件A和B相互獨立，且，則. 故答案為：14.已知在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，求得的范圍，即得所求．【詳解】若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，即，故答案為：．15.若，，其中，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，進而利用兩角和與差的余弦求得，然后求出.【詳解】因為，所以.因為，所以.由已知可得，， 則.因為，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：三角函數(shù)化簡求值，常用拼湊角：（1）再利用誘導(dǎo)公式求值或化簡時，巧用相關(guān)角的關(guān)系會簡化解題過程，常見的互余關(guān)系有：與，與，與等；常見的互補關(guān)系有：與，與等；（2）在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求值或化簡時，常根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論的差異，使問題獲解，常見角的變換方式有：，，等等.16.已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相應(yīng)的不等式可得的范圍．【詳解】∵，，且，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為8， 由解得，∴實數(shù)的取值范圍是故答案為：．【點睛】方法點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，，，且.（1）求實數(shù)的值；（2）求向量與的夾角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）計算出平面向量的坐標，利用平面向量垂直的坐標表示可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可求得實數(shù)的值；（2）利用平面向量夾角余弦的坐標表示可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1），，則，又，且，，解得；（2），，因此，.【點睛】本題考查利用平面向量垂直的坐標表示求參數(shù)，同時也考查了平面向量夾角的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.“無故障里程”是指汽車從出廠到首次出現(xiàn)故障時共行駛的里程，某市場研究機構(gòu)從某品牌出現(xiàn)過故障的汽車中隨機抽取了100輛，調(diào)查這些汽車的無故障里程（單位：百公里），將調(diào)查數(shù)據(jù)按照［85，95），［95，105），...，［135，145]分成6組，得到下面的頻率分布直方圖. （1）將頻率分布直方圖補充完整；（2）求該品牌汽車無故障里程的平均數(shù)的估計值；（每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值為代表）（3）該品牌汽車的廣告宣稱：該品牌汽車無故障里程不低于100百公里的汽車至少占全部汽車的85%.請你根據(jù)樣本數(shù)據(jù)判斷：該廣告內(nèi)容是否屬實？【答案】（1）直方圖見解析（2）（3）不屬實【解析】【分析】（1）由頻率和為1列式求解第三組的小長方形的高，補充完整直方圖；（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式計算；（3）先求解無故障里程低于100百公里的頻率，從而可得無故障里程不低于100百公里的頻率，即可判斷.【小問1詳解】設(shè)第三組的小長方形的高為a，則，得.頻率分布直方圖補充完整如下：【小問2詳解】該品牌汽車無故障里程的平均數(shù)的估計值為. 【小問3詳解】樣本中無故障里程低于100百公里的頻率約為，所以無故障里程不低于100百公里的頻率約為，所以該廣告內(nèi)容不屬實.19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位后得到函數(shù)的圖象，當，求函數(shù)的值域【答案】（1）增區(qū)間：，，減區(qū)間：，；（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）首先根據(jù)題意得到，根據(jù)得到，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】（1）.，解得，.，解得，.所以函數(shù)的增區(qū)間：，， 減區(qū)間：，.（2）.因為，所以.所以，即.【點睛】本題第一問考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問考查三角函數(shù)的平移變換，同時考查了三角函數(shù)的值域問題，屬于簡單題.20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA=AB=2，PB=，∠ABC=60°，且平面PAC⊥平面ABCD.（1）證明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一點，且BM⊥PC，求三棱錐M-BCD的體積.【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)證得PA⊥BD，根據(jù)平面幾何知識證得PA⊥AB，由線面垂直的判定定理可得證；（2）由VM-BCD=VP-BCD可求得答案.【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAC.∵PA平面PAC，所以PA⊥BD. 又∵PA=AB=2，PB=，∴PA2+AB2=PB2，得PA⊥AB.又∵AB，BD平面ABCD，ABBD=B，PA⊥平面ABCD.【小問2詳解】解：由（1）得PA⊥平面ABCD，∵AC平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，得ΔPBC為等腰三角形.在△PBC中，由余弦定理得.∵BM⊥PC，∴，則.得CM=PC，又S△BCD=BC·CDsin120°=，∴三棱錐M-BCD的體積VM-BCD=VP-BCD=S△BCD×PA=.21.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知：（1）求角A的大小；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得的值，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由（1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由題意可求范圍 ，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．小問1詳解】由正弦定理及，得，所以，因為，所以．【小問2詳解】由（1）知，則，，因為，所以，即，所以，為銳角三角形，，因為，所以，則，所以．的取值范圍為.22.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為（單位：元）. （1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當施用肥料為4千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為480元【解析】【分析】（1）利用，即可求解；（2）對進行化簡，得到，然后，分類討論和時，的取值，進而得到答案.【小問1詳解】根據(jù)題意，，化簡得，【小問2詳解】由（1）得當時，當時，當且僅當時，即時等號成立.因為，所以當時，.