四川省 校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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蒼溪中學(xué)校高2022級(jí)高二上學(xué)期第一次學(xué)段考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，即.故選：D2.已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，則的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)直線方程為，再把點(diǎn)代入即可求解【詳解】設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上得：，解得，因此直線的方程為，故選：D．3.若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則（）A.l∥αB.l⊥αC.l?αD.l與α斜交 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知可推得，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以.故選：B.4.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，即可求解.【詳解】因?yàn)榭臻g四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以.故選：A5.已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（????）A.直線的傾斜角為 B.過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線方程為C.向量是直線的一個(gè)方向向量D.若直線：，則【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率可求得傾斜角，即可判斷A，由直線平行可設(shè)所求直線為，代點(diǎn)即可判斷B，由直線的方向向量可判斷C，由直線方程，得出直線的斜率，再由直線垂直時(shí)有，從而可判斷D.【詳解】對(duì)于A：的斜率為，所以直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榕c直線平行的直線方程可設(shè)為，又直線過(guò)點(diǎn)，有，解得，故所求直線方程，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橹本€的方向向量可為或，所以直線的方向向量可為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)橹本€：與直線：的斜率分別為，，所以有，所以，故D正確；故選：D.6.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在線段上，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求，的坐標(biāo)，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與所成角的余弦值即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，.∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：B7.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)關(guān)兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題—“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得解. 【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，可得，可得，依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，此時(shí)，故選：B.8.已知直線和直線，則當(dāng)與間的距離最短時(shí)，t的值為（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用平行線之間的距離公式可求出關(guān)于的二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：∵直線即為直線，∴直線直線．∴與間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)與間的距離最短時(shí)，t的值為．故答案選：B 二、多選題（每小題5分，共20分，漏選得2分，錯(cuò)選多選得0分）9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.向量，的夾角為D.在方向上的投影是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算法則，依次求解各個(gè)選項(xiàng)，即可得到結(jié)果.【詳解】A.∵∴，A正確；B.，，錯(cuò)誤；C.，所以?shī)A角為；D.在方向上的投影為.故選：AC.10.設(shè)直線，，其中實(shí)數(shù)，滿足，則（）A.與平行B.與相交C.與的交點(diǎn)在圓上D.與的交點(diǎn)在圓外【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程知兩斜率相乘為是兩直線互相垂直，即相交，再利用聯(lián)立兩直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，在找到關(guān)系即可得到答案.【詳解】與不可能相等，，故與垂直即相交，故B正確；與的交點(diǎn)為，故與的交點(diǎn)在圓上.故選：BC. 11.已知點(diǎn)，，直線l的方程為，且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值可以為（）A.-1B.0C.1D.2【答案】CD【解析】【分析】首先判斷出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，再結(jié)合圖形即可求出斜率的取值范圍，進(jìn)而選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，又因點(diǎn)，，在坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形可知直線與線段AB有公共點(diǎn)，則或，，，所以或，所以值可以為1，2故選：CD12.在四面體中，以下說(shuō)法正確的有（）A.若，則可知 B.若Q為△的重心，則C.若四面體各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加減、數(shù)乘的幾何意義，求之間含的線性關(guān)系，結(jié)合已知即可求；B：根據(jù)線段的空間位置及空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，求的線性關(guān)系；C：由正四面體性質(zhì)求的長(zhǎng)度即可；D：由題設(shè)有，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及空間向量的加減幾何含義求證結(jié)論.【詳解】A：由，則在線段上，又，若，則，又，故，所以，即，正確；B：若為的中點(diǎn)，，又，而，所以，又，則，整理得，正確；C：由題設(shè)知：，即，且，故，錯(cuò)誤； D：若，，則，又，所以，整理得，故，正確.故選：ABD三、填空題（每小題5分，共20分）13.已知空間向量，且與垂直，則等于______.【答案】4【解析】【分析】由與垂直，得到，由此能求出的值.【詳解】因?yàn)椋遗c垂直，所以，解得，故答案為：414.寫(xiě)出截距相等且過(guò)點(diǎn)直線方程________.【答案】或【解析】【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直接求出直線斜率即可得直線方程；不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)出直線方程，把點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得直線方程【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線的斜率，故直線的方程為；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，把點(diǎn)代入，得，解得， 所以直線的方程為；綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或.15.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線的距離為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】如圖，以為原點(diǎn)建系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)建系，則，則，則，又，所以，所以點(diǎn)O到直線的距離為.故答案為：.16.已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，直線垂直平分弦 AB，則a的值為_(kāi)_____．【答案】4【解析】【分析】由題意可得直線與垂直，可求出的值，再由直線垂直平分弦AB，可得直線過(guò)圓心，可求出.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，得，由，得，則圓心為，因?yàn)橹本€垂直平分弦AB，所以直線過(guò)圓心，所以，解得，故答案為：4四、解答題（共70分）17.已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若與相互垂直，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量共線公式列式求參即可；（2）根據(jù)空間向量垂直數(shù)量積為0列式求參即可.【小問(wèn)1詳解】，，， 即，且，，解得；【小問(wèn)2詳解】，，又，解得．18.已知三個(gè)頂點(diǎn)是（1）求邊上的垂直平分線的直線方程；（2）求的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得BC的中點(diǎn)和BC的斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得方程，化為一般式即可；（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距離，再求得BC的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式可得答案．【詳解】（1），，則所求直線的斜率為：又的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以邊的上的中垂線所在的直線方程為：；（2）直線的方程為：，則點(diǎn)到直線的距離為：，，.【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程和三角形的面積，及點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．19.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程．【答案】（1）；（2）和【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，由半徑可構(gòu)造方程求得 ，由此得到圓心和半徑，進(jìn)而得到圓的方程；（2）當(dāng)切線斜率存在時(shí)，假設(shè)切線方程，利用圓心到直線距離可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程；當(dāng)過(guò)直線斜率不存在時(shí)，是圓的切線；綜合可得切線方程.【小問(wèn)1詳解】圓心在直線上，可設(shè)圓心，，解得：，則圓心，圓的半徑，圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得：，切線方程為，即；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，圓心到直線的距離是，是圓的切線；綜上所述：過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為和.20.平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為.（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）AC1的長(zhǎng)為；（2）AC與BD1夾角的余弦值為．【解析】 【詳解】試題分析：（1）記＝a，＝b，＝c，并將其作為一組基底，利用空間向量的基本定理表示出，然后利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；（2）利用向量夾角求兩條異面直線夾角，但注意向量夾角為銳角或直角時(shí)兩者相等，當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩者互補(bǔ)．試題解析：（1）記＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝．||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的長(zhǎng)為．（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．∴cos〈，〉＝＝．∴AC與BD1夾角的余弦值為．考點(diǎn)：利用向量作為工具求線段長(zhǎng)及異面直線的夾角問(wèn)題．21.如圖，在直三棱柱中，.（1）若為中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若二面角的大小為60°，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明平面，根據(jù)面面垂直的判定即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)二面角的大小，求出兩個(gè)平面的法向量，用夾角公式解決.【詳解】（1）如圖， 以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，即，；又，∴平面.又平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，∴平面平面.（2）設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為.則由取，得又平面的法向量為，則由，解得，于是22.已知直線與圓交于兩點(diǎn)．（1）求出直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)（2）求直線的斜率的取值范圍 （3）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）為定值.【解析】【分析】（1）將直線方程整理后可得方程組，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線方程，利用圓心到直線距離小于半徑可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）可設(shè)直線方程，與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，由整理可得定值.【詳解】（1）將直線方程整理為：，令，解得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)直線斜率為，由（1）可知：直線方程可設(shè)為：，即；圓方程可整理為，則其圓心，半徑，直線與圓交于兩點(diǎn)，圓心到直線距離，即，解得：，即直線斜率的取值范圍為；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，與圓僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，，則直線，可設(shè)直線方程為，由得：，由（2）知：；，， ，為定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓中的定值問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎境身f達(dá)定理的形式，通過(guò)韋達(dá)定理代入整理，消去變量即可得到定值.