浙江省紹興市上虞區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2022學(xué)年高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可.【詳解】直線；；故選：C2.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且．“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟唬灰偷慕痪€平行即可得到；，，∴和沒有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項(xiàng). 3.若直線與雙曲線一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)的值為（????）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，注意，結(jié)合直線平行列方程求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)且，故，所以，雙曲線漸近線為，其中一條與平行，所以，則.故選：A4.在正三棱柱中，所有棱長均為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（????）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平移一條線，找到異面直線所成角，然后用余弦定理可得余弦值.【詳解】如圖，延長MB到P，使得因?yàn)镸是中點(diǎn)，則，又所以ABPM是平行四邊形，所以異面直線與所成的角是(或其補(bǔ)角) 又N是BC中點(diǎn)，所以三棱柱是正三棱柱，所以故選：D5.圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（　?。〢.4B.5C.6D.4或6【答案】D【解析】【分析】化圓的標(biāo)準(zhǔn)式寫出圓心和半徑，根據(jù)已知有兩圓外切或內(nèi)切，進(jìn)而求出兩種情況下對(duì)應(yīng)的半徑r即可.【詳解】由題設(shè)，則且半徑；，則且半徑；所以，又兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故兩圓外切或內(nèi)切，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，則；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，則或（舍）；所以或.故選：D6.已知點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（　?。〢.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用幾何關(guān)系找到之間等量關(guān)系即可. 【詳解】由題意知：，；為正三角形，則：；，，.故選:A7.在邊長為1的菱形ABCD中，，將沿對(duì)角線AC折起得三棱錐.當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，此三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】體積最大時(shí)，即兩個(gè)面垂直時(shí)，然后利用幾何關(guān)系找到外接球圓心即可.【詳解】如圖所示，當(dāng)平面平面時(shí),三棱錐體積最大，取AC中點(diǎn)E，連接BE，DE，由條件知設(shè)分別為的外心，過作平面的垂線m，過作平面ADC的垂線n則m，n的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心；所以所以，表面積為 故選：C.8.如圖，加斯帕爾·蒙日是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程為圓，該圓稱為外準(zhǔn)圓，也叫蒙日?qǐng)A．則雙曲線的蒙日?qǐng)A的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切的一條切線方程是，，由直線與雙曲線相切聯(lián)立方程，且，得出關(guān)于的一元二次方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出該雙曲線蒙日?qǐng)A的方程，即可求解．【詳解】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為，由題可知，雙曲線上兩條互相垂直的切線的斜率均存在且均不為0，設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切的一條切線方程是，，由得，，則，即，整理得，，因?yàn)檫^點(diǎn)有兩條直線與曲線相切，所以，且，即，則，得， 又因?yàn)檫^點(diǎn)的這兩條切線互相垂直，所以，即，故該雙曲線的蒙日?qǐng)A方程為：，半徑為，所以該雙曲線蒙日?qǐng)A的面積為，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，漏選得2分，錯(cuò)選得0分.9.已知直線的方向向量分別是，，若且，則的值可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)橐阎本€的方向向量分別是，，其中且，所以，即，解得或，所以或.故選：BD.10.已知直線和圓，則（????）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線與圓相交C.存在使得直線與直線垂直D.若，直線被圓截得的弦長為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用直線系方程求得直線過定點(diǎn)即可判斷；對(duì)于B，由直線所過的頂點(diǎn)在圓內(nèi)部即可判斷；對(duì)于C，由兩條直線的位置關(guān)系中垂直關(guān)系即可判斷；對(duì)于D，由垂徑定理求弦長可以判斷. 【詳解】對(duì)于A，直線，即，則直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，直線恒過的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線與圓相交，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若直線與直線垂直，則，顯然不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，直線化成，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A.平面B.C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】由底面為菱形，所以，再由，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，證得平面，可判定A正確；根據(jù)，可判定B不正確；證得平面平面，得到為直線與平面 所成的角，結(jié)合向量的夾角公式，可判定C正確；結(jié)合，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由底面為菱形，所以，由題可知，因?yàn)椋?，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，可得，所以B不正確；對(duì)于C中，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，所以在平面?nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，，，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由B中知且，，所以，所以D正確故選：ACD.12.已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)， 的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn).若，則下列說法正確的有（????）A.雙曲線的漸近線方程為B.過點(diǎn)存在兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)C.點(diǎn)在變化過程中，面積的取值范圍是D.若，則的內(nèi)切圓面積為【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得，從而求得雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的漸近線、直線和雙曲線的交點(diǎn)、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓面積等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題可得，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，如圖，由切線長定理可知，，所以，，所以雙曲線的方程為，對(duì)A，由題可得雙曲線的漸近線方程為，故A正確；對(duì)B，由雙曲線的性質(zhì)可知過點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 又過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，即與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故過點(diǎn)的直線存在三條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.對(duì)C，因?yàn)槊娣e為，因此只需求范圍即可，可取臨界位置，當(dāng)與漸近線平行時(shí)，不妨設(shè)，令可得，當(dāng)與另一條漸近線平行時(shí)，不妨設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，解得，即，所以，令可得，所以，，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，則，，解得，故的內(nèi)切圓的周長為，的面積為，由題可知，故，，即，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，的內(nèi)切圓的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法有：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決； （2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共20分.13.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，再結(jié)合雙曲線的定義和“三角形的兩邊之和大于第三邊”，即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，所以，在中，由，得，即，所以，又，所以，故答案為：14.等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折成直二面角，此時(shí)中線與面所成的角的正弦值________．【答案】##【解析】【分析】先證翻折后為等邊三角形，作面則為與面所成的角，求解即可.【詳解】 如圖1：在等腰直角三角形中設(shè)則，沿斜邊上的中線翻折成直二面角如圖2，因?yàn)槊婷婷?，面面，面又面，為等邊三角形，作面于O并連接，為與面所成的角，為的中心，，，故答案為：15.已知，，，以為一個(gè)焦點(diǎn)作過，的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義得到，故焦點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的下支，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)橢圓定義知：，即，故，故焦點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的下支，，，故，故軌跡方程為：.故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的軌跡方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，確定是解題的關(guān)鍵.16.已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度是____________．【答案】##【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到點(diǎn)在平面內(nèi)，確定點(diǎn)在以為直徑的球面上且被平面所截的圓，利用球和截面圓的幾何性質(zhì)求解軌跡半徑，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則，又由，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫婕礊槠矫?，即，又因?yàn)?，可得點(diǎn)在平面內(nèi)，又由，可得點(diǎn)在以為直徑的球面上，綜合可得，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的球面且被平面所截的圓，記球心，截面圓的圓心為，則球的半徑，因?yàn)槠矫?，且為的中點(diǎn)，則點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得點(diǎn)平面的距離，又由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得點(diǎn)平面的距離，所以軌跡所在圓的半徑為，所以該圓的周長為.故答案為：. 四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.直線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線.（1）求直線的方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）討論、過中點(diǎn)兩種情況，兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；【小問1詳解】由題設(shè)，所以，即【小問2詳解】①若，則，整理得；②若過中點(diǎn)，于是，則，整理得：.所以直線的方程為或.18.已知，，，圓經(jīng)過三點(diǎn).（1）求圓C的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；（2）若經(jīng)過點(diǎn)的直線l與圓C交于兩點(diǎn)，求弦長的取值范圍. 【答案】（1），圓心是，半徑（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到圓是以為直徑的圓，求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線過圓心弦長最長，當(dāng)為中點(diǎn)的弦最短，結(jié)合弦長公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，點(diǎn)，，，且圓經(jīng)過三點(diǎn)，可得圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，可得，即圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為.【小問2詳解】解：由圓的性質(zhì)得，當(dāng)直線過圓心，此時(shí)弦長取得最大值，最大值為，當(dāng)為中點(diǎn)的弦最短，其中，所以最短弦長為，所以弦長的取值范圍.19.如圖，四邊形為正方形，平面，∥，（1）求證：平面；（2）求與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，利用正方形性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)定理得， ，再利用線面垂直的判定即可證明；（2）通過等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離，即可求出線面角正弦值.【小問1詳解】連接交于，四邊形為正方形，，又平面，平面，則.又∥，四點(diǎn)共面，，且平面，于是平面.【小問2詳解】//，與平面所成角就是與平面所成角.在中，可以求得，，，根據(jù)余弦定理得，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由平面知，而，因此平面，顯然平面，則點(diǎn)到平面的距離為長2，而，由，得，即，解得. 故與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上.（1）求的值；（2）設(shè)過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).若以拋物線的對(duì)稱軸為棱，將拋物線上下兩部分折成直二面角，此時(shí)兩點(diǎn)之間的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得p的值；（2）根據(jù)直二面角的定義利用兩點(diǎn)之間的距離為可得關(guān)于直線的參數(shù)的方程，即可求得答案.【小問1詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程得：，則，【小問2詳解】由（1）知，焦點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，聯(lián)立得：，，由韋達(dá)定理得，由于以拋物線的對(duì)稱軸為棱，將拋物線上下兩部分折成直二面角，于是，即，即，將代入即解得，所以直線的方程是：或.21.如圖，在空間幾何體中，均為正三角形，且平面平面，平面平面. （1）求證：平面；（2）是棱上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別取之中點(diǎn)，連，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，從而有∥，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)與平面所成角為，求得的長，說明為的中點(diǎn)，作出二面角的平面角，解三角形可得答案.【小問1詳解】證明：分別取之中點(diǎn)，連，為正三角形，；又平面平面，平面平面，平面,平面，同理為正三角形，；平面平面，平面平面,平面，故平面，于是. 由均為正三角形可知，四邊形為平行四邊形，從而有∥，平面，平面，于是∥平面.【小問2詳解】不妨設(shè)，連，則由（1）平面知，與平面所成角就是，則，又,，即，又M為的中點(diǎn)，P在上，故為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，過作，垂足為，連，又平面平面，平面平面，平面,平面，平面，故,又平面，故平面,則為二面角的平面角，連接，則，則，,則，于是，故.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離為. （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率為，設(shè)，得到橢圓方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離為，列出方程求得，即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組得到，根據(jù)，求得的范圍，再由，列出方程組，求得的值，即可求解.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，設(shè)，則，所以橢圓方程為，又由，可得，所以直線，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，假設(shè)存在滿足題意，聯(lián)立方程組，可得， 則，解得或，且，設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，，由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得，所以，即，解得或，綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：解決直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：1、幾何法：圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小，結(jié)合圓的性質(zhì)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，這種方法的特點(diǎn)時(shí)計(jì)算量較小；2、代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合一元二次方程解得個(gè)數(shù)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，特點(diǎn)是計(jì)算量較大，更適合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定問題；3、轉(zhuǎn)化法：結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的對(duì)稱性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，特點(diǎn)是抓住直線與圓的幾何特征，利用幾何特征求解.