安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二第一學(xué)期期中考查數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】直線的斜率為.又傾斜角為,故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率為傾斜角的正切值這一知識點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題型.2.直線（）與圓的位置關(guān)系是（）A.相離B.相交C.相切D.無法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，所以直線恒過定點(diǎn)，圓可化為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交.故選：B3.已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（） A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共面列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?、、三向量共線，所以，即，整理得，解得.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為C.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線都可以用方程表示D.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示【答案】C【解析】【分析】A.由直線的斜率是否存在判斷；B.由截距是否為零判斷；C.由直線的兩點(diǎn)式方程判斷；D.由斜率是否存在判斷；【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過定點(diǎn)的直線方程為，不能寫成的形式，故A錯(cuò)誤.經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或，所以B錯(cuò)誤；經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線，當(dāng)斜率等于零時(shí)，，，方程為，能用方程表示；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，方程為，能用方程表示，故C正確， 不經(jīng)過原點(diǎn)的直線，當(dāng)斜率不存在時(shí)，方程為（）的形式，故D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的形式的使用條件，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.橢圓的兩頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，在中，，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可知，轉(zhuǎn)化成關(guān)于，，的關(guān)系式，再根據(jù)，和的關(guān)系進(jìn)而求得和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．【詳解】據(jù)題意，，，，，即，即.又，，同除得，即（舍）或.故選：B.6.在正方體中，與平面所成角的正弦值是（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 設(shè)正方體的邊長為，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)與平面所成角，則.故選：B7.如圖，四個(gè)棱長為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（）．A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】可根據(jù)圖象得出，然后將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)棱長為及即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可知，， 則，因?yàn)槔忾L為，，所以，，即的不同值的個(gè)數(shù)為，故選：A8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)P的軌跡方程為B.面積最小時(shí)C.最大時(shí)，D.P到直線距離最小值為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可求得點(diǎn)軌跡方程為，A不正確；根據(jù)直線過圓心可知點(diǎn)到直線的距離最大值為，由此可確定面積最大時(shí)，由此可確定B不正確；當(dāng)最大時(shí)，為圓的切線，利用切線長的求法可知C錯(cuò)誤；求得方程后，利用圓上點(diǎn)到直線距離最值的求解方法可確定D正確.【詳解】設(shè)，由得：，即，化簡可得：，即點(diǎn)軌跡方程為，故A不正確；因?yàn)橹本€過圓的圓心，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為圓的半徑，即為， 因?yàn)?，所以面積最大為，此時(shí)，所以面積最大時(shí)，B不正確；當(dāng)最大時(shí)，則為圓的切線，所以，C不正確；直線的方程為，則圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線距離最小值為，D正確.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓的焦距為4，則（）A.橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上B.橢圓C的長軸長是短軸長的倍C.橢圓C的離心率為D.橢圓C上的點(diǎn)到其一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件先求解出的值，然后逐項(xiàng)判斷焦點(diǎn)位置、長軸長和短軸長的數(shù)量關(guān)系、離心率以及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離.【詳解】因?yàn)?，所以，所以焦點(diǎn)在軸上，故A錯(cuò)誤；又因?yàn)榻咕酁?，所以，所以，所以，所以長軸長，短軸長，所以，故B正確； 因?yàn)?，所以離心率，故C正確；因?yàn)闄E圓方程，取一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)橢圓上的點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)取最大值，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值：（1）最大值：，此時(shí)為長軸的端點(diǎn)且與在坐標(biāo)原點(diǎn)兩側(cè)；（2）最小值：，此時(shí)為長軸的端點(diǎn)且與在坐標(biāo)原點(diǎn)同側(cè).(可利用點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式結(jié)合橢圓方程進(jìn)行證明)10.下列命題中，不正確的命題有（）A.是共線的充要條件B.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C.若A，B，C不共線，且，則P，A，B、C四點(diǎn)共面D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底【答案】AB【解析】【分析】利用向量的模相等關(guān)系，結(jié)合充要條件判斷A的正誤；利用平面向量的基本定理判斷B；利用共線向量定理判斷；利用空間向量的基底的概念和反證法判斷D的正誤即可．【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，共線成立，但當(dāng)，同向共線時(shí)，，所以是，共線的充分不必要條件，故A不正確;對于B，當(dāng)時(shí)，，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故B不正確;對于C，由于，而，根據(jù)共面向量定理知，，，， 四點(diǎn)共面，故C正確;對于D，若，，為空間的一個(gè)基底，則，，不共面，利用反證法證明，，不共面，假設(shè)，，共面，則,所以，所以，，共面，與已知矛盾.所以，，不共面，則，，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確．故選：AB11.(多選)如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A.AC1=6B.AC1⊥DBC.向量與的夾角是60°D.BD1與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可.【詳解】因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，所以·=·=·=6×6×cos60°=18，(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，則||=|++|=6，所以A正確； ·=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0，所以B正確；顯然△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D=60°.因?yàn)?，且向量與的夾角是120°，所以與的夾角是120°，所以C不正確；因?yàn)?+-=+，所以||==6，||==6，·=(+-)·(+)=36，所以cos<>===，所以D不正確.故選:AB.12.泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)P的軌跡方程是號B.直線：“最遠(yuǎn)距離直線”C.平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D.點(diǎn)P的軌跡與圓C：沒有交點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】對于A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對于B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對于C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對于D，易判斷為交點(diǎn).【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半，所以，化簡得，故A錯(cuò)誤； 聯(lián)立方程可得，解得，故存在，所以直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B正確；過P作PB垂直直線，垂足為B，則由題可得，則，則由圖可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5，故C正確；由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13.若直線與直線平行，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行列方程，由此求得的值.【詳解】依題意可得，解得，當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，故.故答案為：14.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，E為中點(diǎn)，若，，，則__________． 【答案】【解析】【分析】根據(jù)底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，向量加法的平行四邊形法則得到，而，即可求得的結(jié)果.【詳解】解：)=．故答案為：.15.已知，為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為__________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，利用勾股定理結(jié)合橢圓定義求，進(jìn)而可求四邊形的面積.【詳解】由橢圓可得：，由題意可得：，則為平行四邊形，∵，則，∴，則，又，∴，則四邊形的面積.故答案為：4. 16.為保護(hù)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站，集中處理三個(gè)自然村的垃圾，受當(dāng)?shù)貤l件限制，垃圾處理站只能建在與村相距，且與村相距的地方.已知村在村的正東方向，相距，村在村的正北方向，相距，則垃圾處理站與村相距__________．【答案】2或7##7或2【解析】【分析】由條件建立平面直角坐標(biāo)系，由條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)一步求出其位置，再由兩點(diǎn)距離公式求.【詳解】以為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則．由題意得處理站在以為圓心半徑為5的圓A上，同時(shí)又在以為圓心半徑為的圓C上，兩圓的方程分別為和．，解得或．∴垃圾處理站的坐標(biāo)為或，∴或，即垃圾處理站與村相距或．答案：2或7 四、解答題：本題共6小題，共44分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.如圖，在中，邊上的高所在的直線方程為，直線與直線垂直，若點(diǎn)的坐標(biāo)為.求（1）和所在直線的方程；（2）求的面積.【答案】(1)，；(2)12.【解析】【詳解】試題分析：（1）先求出頂點(diǎn)，再利用斜率公式可得，利用點(diǎn)斜式可得的方程，由上的高所在直線的方程為，可得的斜率為，再由點(diǎn)斜式可得 的方程；（2）由兩點(diǎn)間距離公式可得，由點(diǎn)到直線的距離公式可得三角形的高，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.試題解析：（1）由得頂點(diǎn).又的斜率,所在直線的方程為①已知上的高所在直線的方程為，故的斜率為，所在的直線方程為②（2）解①，②得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.又直線的方程是到直線的距離，所以的面積18.已知圓的圓心坐標(biāo)為，直線被圓截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)且與圓C相切的直線方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】(1)根據(jù)圓心坐標(biāo)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的半徑即可.(2)當(dāng)切線斜率不存在時(shí)滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓心到直線的距離為半徑，計(jì)算求出直線斜率即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：圓心到直線的距離：，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （2）①當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，設(shè)切線：，此時(shí)滿足直線與圓相切.②當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線：，即則圓心到直線的距離：.解得：，即則切線方程為：綜上，切線方程為：和19.如圖，長方體中，、與底面所成的角分別為60°和45°，且，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)．（1）求長方體的體積；（2）求最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長方體邊長和體對角線的關(guān)系，求出邊長得到體積.（2）利用向量法找到最小值時(shí)的位置，求得最小值.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫?、與底面所成的角分別為60°和45°，所以，，因此設(shè)，又，所以，因此， 因?yàn)?，所以，解得，故長方體的體積為；【小問2詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，因此的最小值為，故的最小值為．20.已知橢圓C：（）與x軸分別交于、點(diǎn)，N在橢圓上，直線，的斜率之積是．（1）求橢圓C的方程；（2）求點(diǎn)N到直線l：的最大距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積建立方程，化簡后得到橢圓方程；（2）設(shè)直線，根據(jù)幾何性質(zhì)，可知當(dāng)點(diǎn)N既在橢圓C上又在直線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Ｎ到直線l距離最大，設(shè)出直線：，聯(lián)立橢圓方程，由求出，利用兩平行線間距離公式求出最大距離.【小問1詳解】由題意，設(shè)，則，，因?yàn)橹本€，的斜率之積是，所以．整理得橢圓方程為； 【小問2詳解】由（1）中結(jié)論可得，橢圓方程為，設(shè)直線，則當(dāng)點(diǎn)N既在橢圓C上又在直線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Ｎ到直線l有最大距離，設(shè)直線：，聯(lián)立方程，得，則，解得或，因?yàn)橐簏c(diǎn)到直線l的最大距離，所以直線為，故最大距離．21.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，其中，側(cè)面為正三角形，．（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【小問1詳解】取的中點(diǎn)為E，連接，，因?yàn)閭?cè)面為正三角形，所以，又底面為菱形且，所以正三角形，因此，又平面，平面，， 因此平面，平面，所以，又因?yàn)椋?；【小?詳解】由（1）中結(jié)論可得，，又，所以，由，，可得，因此，所以，以為x軸，為y軸，向上為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)平面的法向量為，則，因此，故平面與平面的夾角余弦值為． 22.如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在上，點(diǎn)，線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)M.（1）求點(diǎn)M軌跡方程；（2）若直線l與曲線交于A，B兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)O，請問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【解析】【分析】(1)由題意有，從而，根據(jù)橢圓的定義可得答案.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)題意得，即，將韋達(dá)定理代入可得，又原點(diǎn)O到直線l的距離，得出的值，根據(jù)，再驗(yàn)證直線l的斜率不存在時(shí)的情況，從而得出答案,【詳解】（1），圓心，半徑.由連接，由點(diǎn)Q在圓內(nèi)，又由點(diǎn)M在線段的垂直平分線上.，，由橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以，Q為焦點(diǎn)的橢圓，其中，.，點(diǎn)M的軌跡方程為. （2）①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，.聯(lián)立得，由題意，（*）且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則，，即，整理得，代入上述（*）中，得恒成立.設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為h，由由，可得所以，而，.②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，則，代入橢圓方程得綜上，是定值，定值為.