重慶市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考三（11月）數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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重慶市第八中學(xué)2024屆高考適應(yīng)性月考卷（三）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得到復(fù)數(shù)，然后得到對應(yīng)的點(diǎn)的象限即可.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B2.已知，則中的元素個數(shù)為（）A.3個B.4個C.5個D.6個【答案】C【解析】【分析】通過列舉,找到滿足的的所有元素即可.【詳解】結(jié)合題意：滿足的元素有：. 故選：C.3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則cosB=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】結(jié)合題意：利用正弦定理得：,即,解得：.故選：D.4.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的一條漸近線上，且，則的面積為（）A.B.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線方程得到和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)結(jié)合三線合一得到，最后根據(jù)面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，，作中點(diǎn)，由可知所以，且雙曲線漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線漸近線具有對稱性，取， 又因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C5.“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，現(xiàn)有“方斗”容器如圖所示，已知，，現(xiàn)往容器里加米，當(dāng)米的高度是“方斗”高度的一半時，用米，則該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，利用臺體的體積公式計(jì)算出棱臺與棱臺的體積之比，即可得出原“方斗”可盛米的總質(zhì)量.【詳解】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因?yàn)榫€段、的中點(diǎn)分別為、，則， 設(shè)棱臺的高為，體積為，則棱臺的高為，設(shè)其體積為，則，則，所以，，所以，該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為.故選：D.6.重慶八中味園食堂午餐情況監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，小唐同學(xué)周一去味園的概率為，周二去味園的概率為，且小唐周一不去味園的條件下周二去味園的概率是周一去味園的條件下周二去味園的概率的2倍，則小唐同學(xué)周一、周二都去味園的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，根據(jù)題意利用全概率公式可得，進(jìn)而結(jié)合條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，則“小唐同學(xué)周一、周二都去味園”為事件AB，由題意可知：，且，由全概率公式可知：，即，解得，所以.故選：A7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，已知直線關(guān)于直線對稱，則（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】 【分析】先根據(jù)題目意思畫出圖像，結(jié)合圖像和條件關(guān)于直線對稱得到，再求出，最后根據(jù)二倍角公式求解即可.【詳解】如圖所示，，設(shè)直線分別交軸于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以≌，所以，又因?yàn)橹本€關(guān)于直線對稱，所以，所以，即，所以為點(diǎn)到直線的距離，即，又且，所以，所以，所以，故選：B8.已知函數(shù)（且），若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先得到，故函數(shù)與除了0外，沒有其他交點(diǎn)，分和兩種情況，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值和切線方程，得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故除0外沒有其他零點(diǎn)，即函數(shù)與除了0外，沒有其他交點(diǎn)，若，畫出與的圖象，如下：因?yàn)?，故與在內(nèi)有交點(diǎn)，不合要求，舍去；若時，畫出與的圖象如下：假設(shè)為在的切線方程，，當(dāng)時，，故在的切線方程為， 令，解得，結(jié)合函數(shù)圖象，要想函數(shù)與除了0外，沒有其他交點(diǎn)，則故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每個給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是滿足要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，．則當(dāng)時（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞增C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)不確定，故A正確，B錯誤；又，，所以當(dāng)時，，所以，，故C正確，D錯誤；故選：AC10.質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的⊙O上逆時針做勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā)．P的角速度大小為1rad/s，起點(diǎn)為⊙O與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為3rad/s，起點(diǎn)為射線與⊙O的交點(diǎn)．則當(dāng)Q與P重合時，Q的坐標(biāo)可以為（） A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】先求出點(diǎn)的初始位置的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過s后，Q與P重合，得到方程，求出，從而分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，得到答案.【詳解】點(diǎn)的初始位置的坐標(biāo)為，且鈍角設(shè)經(jīng)過s后，Q與P重合，坐標(biāo)均為，則，解得，當(dāng)為偶數(shù)時，Q的坐標(biāo)為，C正確；當(dāng)為奇數(shù)時，Q的坐標(biāo)為，即，B正確；AD均不對，故選：BC11.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（） A.B.使得成立的最大自然數(shù)C.D.中最小項(xiàng)為【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合題意：利用等差數(shù)列及，判斷出，并可以分析出，再利用數(shù)列的相關(guān)知識即可判斷.【詳解】根據(jù)題意：即兩式相加，解得：，故A正確由，可得到，所以，，，所以，故C正確；由以上可得：，，而，當(dāng)時，；當(dāng)時，；要使得成立的最大自然數(shù)，故B錯誤.當(dāng)，或時，；當(dāng)時，；由，,所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ACD.12.如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)．已知橢圓其左、右焦點(diǎn)分別是，，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P與l垂直的直線與橢圓的長軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)，若| 的最大值為7，則（）A.橢圓C的離心率為B.若的內(nèi)切圓半徑為則C.若則D.若垂足為，則【答案】BD【解析】【分析】對A，結(jié)合橢圓定義及三角形不等式即可求解；對B，應(yīng)用等積法及向量數(shù)量積即可求解；對C，應(yīng)用角平分線的性質(zhì)及余弦定理即可求解；對D，延長交于點(diǎn)，應(yīng)用對稱性及圓的定義即可求解.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取得等號，解得，則橢圓方程為，則，A錯誤；對B，的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，根據(jù)對稱性不妨設(shè)在第一象限， 由，解得，則，則，即，B正確；由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，得點(diǎn)P與l垂直的直線為角的角平分線，則，則，則，則，則，則,,解得或，C錯誤；對D，如圖，延長交于點(diǎn)，則在中，，則且為中點(diǎn)，在中，，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，即，D正確.故選：BD 三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.一批產(chǎn)品的次品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取20次．表示抽到的次品的件數(shù)，則___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得服從二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的方差公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，服從二項(xiàng)分布，即，則.故答案為：14.已知向量，且，則____________．【答案】##【解析】【分析】依題意可得，將上式兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，即，所以，所?故答案為：15.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則____________________．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程表示的縱坐標(biāo)，由及勾股定理得出等量關(guān)系計(jì)算即可. 【詳解】易知設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程得，，所以的縱坐標(biāo)，又，所以.故答案為：16.記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)已知，，則____________，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對任意的恒成立，則的最大值為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，再由求出，即可求出，從而求出，又，則，即可求出的通項(xiàng)公式與，參變分離可得對任意的恒成立，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，則，由，，所以，解得，所以，所以， 由，所以，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪?，又且單調(diào)遞增，所以對任意的恒成立，令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，，所以，所以最大值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到，從而得到，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后參變分離轉(zhuǎn)化為求.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，是圖象的對稱軸．（1）求；（2）若上單調(diào)，求．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性計(jì)算可得；（2）首先求出的范圍，結(jié)合（1）即可得到的值，再求出.【小問1詳解】依題意，，，，所以，，，所以，，，因?yàn)?，所以?【小問2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，且為零點(diǎn)，所以，所以，又，解得，所以，所以，又，，解得，，因?yàn)椋?18.已知公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公比；（2）是否存在r，s，且使得成等差數(shù)列？若存在，求出r，s，t的關(guān)系；若不存在，請說明理由．【答案】（1）;（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用成等差數(shù)列和是等比數(shù)列,建立方程，求出公比即可； （2）先假設(shè)存在,通過對數(shù)列求和，驗(yàn)證為等差數(shù)列矛盾，從而說明不存在.【小問1詳解】結(jié)合題意：成等差數(shù)列，所以，由是等比數(shù)列，所以，整理得，解得：（舍去），或.【小問2詳解】假設(shè)存在r，s，且使得成等差數(shù)列由（1）可知，所以，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，整理的：，在上式兩邊同時除，得到：，觀察可知左邊為偶數(shù)，右邊奇數(shù)，不成立.故不存在互不相等的正整數(shù)r，s，且使得成等差數(shù)列.19.在入室盜竊類案件中，出現(xiàn)頻率最高的痕跡物證之一就是足跡．負(fù)重行走對足跡步伐特征影響的規(guī)律強(qiáng)，而且較為穩(wěn)定．正在行走的人在負(fù)重的同時，步長變短，步寬變大，步角變大．因此，以身高分別為170cm，175cm，180cm的人員各20名作為實(shí)驗(yàn)對象，讓他們采取雙手胸前持重物的負(fù)重方式行走，得到實(shí)驗(yàn)對象在負(fù)重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg狀態(tài)下相對穩(wěn)定的步長數(shù)據(jù)平均值．并在不同身高情況下，建立足跡步長s(單位：cm)關(guān)于負(fù)重x(單位：kg)的三個經(jīng)驗(yàn)回歸方程．根據(jù)身高170cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程①：；根據(jù)身高175cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程②：根據(jù)身高180cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程③：．（1）根據(jù)身高180cm組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求，的值，并解釋參數(shù)的含義；身高180cm不同負(fù)重情況下的步長數(shù)據(jù)平均值負(fù)重x/kg05101520 足跡步長s/cm74.3573.5071.8068.6065.75（2）在一起盜竊案中，被盜竊物品重為9kg，在現(xiàn)場勘查過程中，測量得犯罪嫌疑人往返時足跡步長的差值為4.464cm，推測該名嫌疑人的身高，并說明理由．附：．為回歸方程，，，，【答案】19.，，參數(shù)的含義詳見解析20.嫌疑人身高為175cm，理由詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)回歸直線相關(guān)公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)參數(shù)的幾何意義計(jì)算即可判斷.【小問1詳解】由題意可知：，，，所以，；的含義表示，負(fù)重每增加足跡步長減少.【小問2詳解】設(shè)被盜竊物品重為9kg時，身高170cm的步長誤差為，高175cm的步長誤差為，高180cm的步長誤差為，由題意可得，，，，因?yàn)榕c測量得犯罪嫌疑人往返時足跡步長的差值最接近，所以犯罪嫌疑人身高為175cm.20.如圖，已知ABCD和ADEF均為直角梯形，AD//BC，AD//EF，AB=BC=3，二面角E-AD-C的平面角為 （1）求證：（2）若點(diǎn)M為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段BM上，且直線AD與平面AFG所成的角為求點(diǎn)G到平面EDC的距離．【答案】（1）見詳解；（2）【解析】【分析】（1）由二面角的平面角為，及，再由余弦定理求出EC，即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由直線AD與平面AFG所成角為，求出，即可求解.【小問1詳解】證明：由題意知，，得二面角的平面角為，過點(diǎn)F作DE的平行線交AD于點(diǎn)H，則，故，過B作DC的平行線交AD于點(diǎn)T，則，得，故，在中，由余弦定理得，，故.【小問2詳解】解：連接EM，由(1)知，，又因平面DEC，故，，則有，而，故，以點(diǎn)M為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 則，設(shè)，則，，設(shè)平面AFG的法向量為，則有，令，則，又因?yàn)橹本€AD與平面AFG所成角為，則，則，故，則，得，因?yàn)槠矫鍱DC平面ADCB，過G作于點(diǎn)N，則，故點(diǎn)G到平面EDC距離為.21.已知函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，證明： （1）在上有唯一的極大值點(diǎn)；（2）在上有且僅有兩個零點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造，判定的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證；（2）分區(qū)間討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，將兩個零點(diǎn)確定在區(qū)間，結(jié)合（1）的結(jié)論及零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【小問1詳解】易知，令，易知在上單調(diào)遞減，時，，則此時單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，又，所以，使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有極大值；【小問2詳解】當(dāng)， 且第一次時，，而單調(diào)遞增，因此可知時，恒成立，此時函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時，顯然，此時有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，由（1）可知，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有極大值，因?yàn)?，則使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知，由可知，而，所以，使得，綜上所述，在上有且僅有兩個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問難點(diǎn)在于分區(qū)間討論零點(diǎn)的情況，由三角函數(shù)的有界性，可知時，恒成立，從而把零點(diǎn)確定在區(qū)間上，結(jié)合（1）的結(jié)論判定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理及端點(diǎn)的函數(shù)值證明即可.22.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)若雙曲線C的實(shí)軸長為且（1）求雙曲線C的方程； （2）點(diǎn)P(2，1)，A，B為雙曲線C上兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上，軸，Q為AM的中點(diǎn)，若P，B，M三點(diǎn)共線，問直線AB是否過定點(diǎn)，如果是，請求出該定點(diǎn)；如果不是，請說明理由．【答案】22.;23.直線AB過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法解出，即可得出雙曲線方程;（2）設(shè)出直線AB，利用P，B，M三點(diǎn)共線，借助韋達(dá)定理，找到的關(guān)系，進(jìn)而求得定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)，結(jié)合題意可得：，解得：，所以雙曲線C的方程：.【小問2詳解】由題意可知該直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為：，并且設(shè)，.聯(lián)立,消元得：，所以①②結(jié)合題意軸，點(diǎn)Q在直線上可得：，因?yàn)镼為AM的中點(diǎn)，易知，因?yàn)镻，B，M三點(diǎn)共線，所以共線，即化簡整理得：， 將①②代入上式：.整理得：，所以或.即或.當(dāng)時，直線的方程為：,此時經(jīng)過定點(diǎn)；當(dāng)時，直線的方程為：，此時經(jīng)過定點(diǎn)與重合(舍去).故直線AB過定點(diǎn).