重慶市永川中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)模擬題四Word版含解析.docx

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重慶市永川中學(xué)高2026屆高一上期半期考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若全集且，則集合的真子集共有（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】先利用補(bǔ)集求得集合A，進(jìn)而得到真子集的個(gè)數(shù).【詳解】解：因?yàn)槿?，所?所以集合的真子集共有，故選：C2.如圖，陰影部分所表示的集合為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分析出陰影部分所在范圍，再根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)的意義即可得答案.【詳解】解：由題意可得，陰影部分不在集合內(nèi)，所以一定在內(nèi)；又因?yàn)殛幱安糠衷诩蟽?nèi)，所以陰影部分所表示的集合為.故選：B.3.已知是定義在上的函數(shù)，那么“在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)在 上的最小值為”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上的最小值為，所以充分性成立；反之：函數(shù)在上的最小值為，但函數(shù)在上不一定為單調(diào)遞減函數(shù)，所以必要性不成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減是在上單調(diào)遞減的充分不必要條件.故選：A.4.下列函數(shù)中，值域?yàn)閇1，+∞)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】分別利用換元，分離常數(shù)，上下同除結(jié)合基本不等式，函數(shù)單調(diào)性求解各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)值域即可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因，則，又注意到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故C錯(cuò)誤. D選項(xiàng)，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則，故D正確.故選：D5.已知函數(shù)，且，則　　A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由換元法求出函數(shù)的解析式，令函數(shù)值為6，解出值即可．【詳解】令，則，由，可得，則，解得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(　　)A.a＝－3B.a＜3C.a≤－3D.a≥－3【答案】C【解析】【分析】分離參數(shù)可得，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可的結(jié)果.【詳解】，由函數(shù)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，有解得a≤－3，故選C．【點(diǎn)睛】利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見(jiàn)方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍. 7.已知，且，當(dāng)取最小值時(shí)，的最大值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式得到時(shí)，取最小值，此時(shí)消元得到，配方得到最大值；【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：D.8.已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x有成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由于有絕對(duì)值，分情況考慮和，再由是奇函數(shù)畫(huà)出圖象，再根據(jù)考慮圖象平移結(jié)合圖形可得答案.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，，故寫(xiě)成分段函數(shù)，化簡(jiǎn)得，又為奇函數(shù)，故可畫(huà)出圖像： 又可看出往右平移個(gè)單位可得，若恒成立，則，即，又為正數(shù)，故解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)對(duì)分段函數(shù)的轉(zhuǎn)換，圖象的平移，屬于中檔題.二．多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.集合，，，若則或B.設(shè)全集為，若，則C.集合D.“和都是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的必要不充分條件【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：由，得出或等于2，分別求解，然后驗(yàn)證互異性即可判斷為錯(cuò)；對(duì)于B：由集合間的包含關(guān)系和補(bǔ)集的概念判斷正確；對(duì)于C：令集合中的，即可判定為正確；對(duì)于D，取特值即可判定為錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：由，若或1，當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去；若或2，當(dāng)時(shí)，合題意，當(dāng)時(shí)，，合題意，故或2，A錯(cuò)誤； 對(duì)于B：若，則，B正確；對(duì)于C：令集合中的，得，故C正確；對(duì)于D：不是無(wú)理數(shù)，若為無(wú)理數(shù)，可取，和不都是無(wú)理數(shù)，故“和都是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò).故選：BC.10.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（）A.的值域?yàn)锽.的定義域?yàn)镃.，D.為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)定義域、值域和奇偶性逐一判斷即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)榛蚯?與1均為有理數(shù)，所以或，故C正確；函數(shù)，故為偶函數(shù)，D正確．故選：BCD11.函數(shù)，且，則（）A.的值域?yàn)锽.不等式的解集為CD.【答案】CD【解析】 【分析】作出函數(shù)的圖像，即可看出函數(shù)的值域；求出時(shí)的解，即可根據(jù)圖像寫(xiě)出不等式的解集；令，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)即可求出零點(diǎn)的關(guān)系和取值范圍，從而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下圖所示：可知函數(shù)的值域?yàn)?，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有或，解得，，，所以，不等式的解集為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，由圖可知a，b關(guān)于對(duì)稱，所以，即，C選項(xiàng)正確；因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以，而，所以，D選項(xiàng)正確；故選：CD.12.已知正數(shù)滿足，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知等式可得，由，，結(jié)合基本不等式可知AB正誤；利用基本不等式可直接驗(yàn)證CD正誤.【詳解】由，，得：； 對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），A正確；對(duì)于B，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，），B錯(cuò)誤；對(duì)于C，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），C正確；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），由C知：（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)的定義域求出的定義域，結(jié)合解析式的特征可得答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，即的定義域；因?yàn)椋?，所以的定義域?yàn)?故答案為：.14.已知函數(shù)，滿足的的值為_(kāi)_______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，由分段函數(shù)解析式可得，則 ，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，必有，則，解得，若，必有，則，解得或.故答案為：或15.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與單調(diào)性得的值，從而可得不等式為，設(shè)函數(shù)，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，所以；所以不等式為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知定義在上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當(dāng)時(shí)，都有；③．則下列命題成立的是 ___________（1）（2）若，則（3）若，則（4），，使得【答案】(1)(3)(4)【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性對(duì)命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由條件①得是偶函數(shù)，條件②得在上單調(diào)遞增，所以，故(1)對(duì)，若，則，得，故(2)錯(cuò)，若，則或，因?yàn)?，所以或，?3)正確.因?yàn)槎x在上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且在上單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)，只需即可，故(4)正確.故答案為：(1)(3)(4)四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.分別計(jì)算下面兩題（1）化簡(jiǎn)：（2）化簡(jiǎn)求值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】利用根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算方法，即可化簡(jiǎn)；【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】原式.18.已知（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，求函數(shù)的解析式；（3）求關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2），（3）或【解析】【分析】（1）利用湊配法，求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，再利用函數(shù)的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（3）首先不等式變形為，再利用函數(shù)單調(diào)遞減，解不等式.【小問(wèn)1詳解】 ，令，，∴，即函數(shù)的解析式為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，且為上的奇函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的解析式為：，【小問(wèn)3詳解】由，且上單調(diào)遞減∴，∴∴且∴不等式的解集為或.19.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為，市場(chǎng)價(jià)格(單位：千元)與市場(chǎng)供應(yīng)量(單位：萬(wàn)件)之間近似滿足關(guān)系式：，其中均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為萬(wàn)件；若市場(chǎng)價(jià)格為千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為萬(wàn)件.（1）試確定的值.（2）市場(chǎng)需求量(單位：萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格(單位：千元)近似滿足關(guān)系式：，當(dāng)時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）將關(guān)稅稅率，市場(chǎng)價(jià)格代入中，列出關(guān)于與的方程組求解；（2）利用，將表示成關(guān)于的函數(shù)，然后確定的最大值.【詳解】(1)由已知得： ，得解得，.(2)當(dāng)時(shí)，，所以，則.設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故當(dāng)時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、處理問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)建模的能力，難度一般.解答時(shí)，要靈活運(yùn)用題目所給條件，建立函數(shù)模型然后求解.20.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，成立，且．（1）求，并證明函數(shù)的奇偶性；（2）當(dāng)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，可得，令，，從而即可證明；（2）由已知條件，可得為增函數(shù)，又原不等式等價(jià)于恒成立，則在上恒成立，令，分離參數(shù)即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：令，可得，令，則，所以，所以， 所以為奇函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】解：，即，所以，又當(dāng)時(shí)，成立，所以為增函數(shù)，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即.21.已知函數(shù)的定義域是，值域是，，，的定義域和值域分別為，，的定義域?yàn)?（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)函數(shù)的定義域即可直接得到的定義域，通過(guò)求的單調(diào)性即可求出其值域；（2）先求出的范圍，推出的定義域?yàn)樗膮^(qū)間，通過(guò)對(duì)的分類討論，求出各種情況下的定義域，看是否包含，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意在函數(shù)中，定義域是，值域是∴， 在中，定義域?yàn)?，設(shè)，，設(shè)且∴函數(shù)單調(diào)遞增∴，∴的值域?yàn)椤拘?wèn)2詳解】由題意及（1）得，，∴在中，的定義域?yàn)椤摺啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件∴“”是“”的充分不必要條件∴的定義域包括當(dāng)時(shí)，，，解得：，不符題意，舍去當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得：或1當(dāng)時(shí)，，，解得：，不符題意，舍去 當(dāng)且，即時(shí)，，解得：或，符合題意當(dāng)且，即時(shí)，，解得：或，不符題意，舍去綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為22.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）討論的取值范圍確定不等式的解集；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系問(wèn)題求解.【小問(wèn)1詳解】，所以，令，若，解得，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)方程有兩根，，且，此時(shí)不等式的解集為，綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，【小問(wèn)2詳解】記函數(shù)，的值域?yàn)榧螦，，的值域?yàn)榧螧； 則對(duì)任意的，總存在，使得成立；因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，，得；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)椋?，解得；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)椋?，解得?/p>