四川省瀘縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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瀘縣四中2023年秋期高二第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1.已知向量，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算公式求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以．故選：C.2.圓的圓心為（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出其圓心坐標(biāo).【詳解】由，得，所以圓心為，故選：A3.點P（-1，2）到直線8x-6y+15=0的距離為（）A.2B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】【詳解】點P（﹣1，2）到直線8x﹣6y+15=0的距離為,故選B.4.盒中有4個大小相同的球，其中白球2個，黑球2個，從中任意摸出2個（摸出后不放回），則至少摸出一個黑球的概率為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】正難則反，計算摸出的球全為白球的概率，用1減去對應(yīng)概率即可.【詳解】由題意知，若摸出的兩球全為白球，則對應(yīng)的概率為：，則至少摸出一個黑球的概率為.故選：D5.某班統(tǒng)計一次數(shù)學(xué)測驗成績的平均分與方差，計算完畢才發(fā)現(xiàn)有個同學(xué)的分?jǐn)?shù)還未錄入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為，，新平均分和新方差分別為，，若此同學(xué)的得分恰好為，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差的公式即可求解.【詳解】設(shè)這個班有n個同學(xué)，分?jǐn)?shù)分別是，，，…，，第i個同學(xué)的成績沒錄入，第一次計算時，總分是，方差；第二次計算時，，方差，故.故選：C.6.已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為 A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】由題意得所以選B.點睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.7.對于事件A與事件B，下列說法錯誤的是（）A.若事件A與事件B互為對立事件，則P（A）+P（B）=1B.若事件A與事件B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）C.若P（A）+P（B）=1，則事件A與事件B互為對立事件D.若P（AB）=P（A）P（B），則事件A與事件B相互獨立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對立事件和獨立事件的定義和性質(zhì)逐項分析.【詳解】對于A，事件A和事件B為對立事件，則A，B中必然有一個發(fā)生，，正確；對于B，根據(jù)獨立事件的性質(zhì)知，正確；對于C，由，并不能得出A與B是對立事件，舉例說有a，b，c，d4個小球，選中每個小球的概率是相同的，事件A表示選中a，b兩球，則，事件B表示選中b，c兩球，則，，但A，B不是對立事件，錯誤；、對于D，由獨立事件的性質(zhì)知：正確；故選：C. 8.已知點A，B分別是橢圓的右、上頂點，過橢圓C上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點，且，則橢圓C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，，再根據(jù)列式求解即可【詳解】由已知得：，，所以，由得：所以所以由得：所以故選：C二．多選題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）9.如圖，在邊長為的正方體中，分別是棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（） A.平面B.C.平面D.【答案】ABC【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法依次判斷各個選項即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；對于A，，即，平面，A正確；對于BD，，，B正確，D錯誤；對于C，，，平面，C正確. 故選：ABC10.已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值可能為（）A.1B.C.﹣2D.﹣1【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三條直線中有兩條直線的斜率相等時，或者三條直線交于一點時，不能構(gòu)成三角形進(jìn)行求解即可.【詳解】因為直線l1的斜率為3，直線l2的斜率為，所以直線一定相交，交點坐標(biāo)是方程組的解，解得交點坐標(biāo)為：.當(dāng)時，直線與橫軸垂直，方程為：不經(jīng)過點，所以三條直線能構(gòu)成三角形；當(dāng)時，直線的斜率為：.當(dāng)直線l1與直線l3的斜率相等時，即，此時這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；當(dāng)直線l2與直線l3的斜率相等時，即，此時這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；當(dāng)直線l3過直線交點時，三條直線不能構(gòu)成三角形，即有，故選：BCD【點睛】本題考查了三條直線不構(gòu)成三角形求參數(shù)取值范圍問題，考查了直線平行與相交的判斷，考查了分類討論思想，考查了數(shù)學(xué)運算能力.11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為.若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取可以是A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】先得到的軌跡方程為圓，與直線有交點，得到的范圍，得到答案. 【詳解】所作的圓的兩條切線相互垂直，所以，圓點，兩切點構(gòu)成正方形即在直線上，圓心距計算得到故答案選AB【點睛】本題考查了圓的切線問題，通過切線垂直得到的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.12.已知過雙曲線的左焦點F的直線l與雙曲線左支交于點，過原點與弦的中點D的直線交直線于點E，若為等腰直角三角形，則直線l的方程為（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】首先設(shè)出直線的方程，并代入雙曲線方程得到一元二次方程，然后根據(jù)題意求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率關(guān)系確定出直線與直線的垂直關(guān)系，得到，利用兩點間的距離公式求出點的坐標(biāo)，計算出的值,最后確定出直線的方程.【詳解】由題意知，設(shè)直線方程為，將方程與雙曲線方程聯(lián)立，整理得.設(shè)，則，由韋達(dá)定理得，所以，，即， 故直線方程為.令，得，即，所以直線斜率為，所以，因此，即，解得.又，所以，所以，從而直線l方程或.故選：AC.【點睛】方法點睛：本題涉及到雙曲線的弦上的中點，可以利用點差法或者韋達(dá)定理，整理得到.三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.某工廠生產(chǎn)10個產(chǎn)品，其中有2個次品，從中任取3個產(chǎn)品進(jìn)行檢測，則3個產(chǎn)品中至多有1個次品的概率為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算公式、古典概型概率計算公式等知識求得正確答案.【詳解】3個產(chǎn)品中至多有1個次品的概率為：.故答案為：14.已知點，，，，過點P作平面OAB，H為垂足，則點 H的坐標(biāo)是_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，先根據(jù)求出的關(guān)系，再根據(jù)四點共面，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，，因為平面OAB，平面OAB，所以，則，解得，所以，因為平面OAB，H為垂足，所以四點共面，則存在唯一實數(shù)對使得，即，所以，解得，所以.故答案為：15.已知點，，圓()上存在唯一的點，使，則實數(shù)的值是__________.【答案】或 【解析】【分析】求得點的軌跡方程，由點的軌跡與圓只有一個公共點，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，整理得，即，所以點的軌跡方程為，又因為圓上存在唯一的點符合題意，所以兩圓內(nèi)相切，因為圓，可得圓心，半徑，圓，可得圓心，半徑，可得或，解得或，又，所以實數(shù)的值為或.故答案：或.16.已知拋物線，焦點為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別是，，已知線段的中點，則的值是__________.【答案】17或44【解析】【分析】設(shè)切點，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出兩條切線方程，聯(lián)立解方程組，并結(jié)合點和的坐標(biāo)，推出的值，再利用拋物線的定義計算的值即可.詳解】由題意知，，設(shè)，，則，，，所以，，因為線段的中點，所以，即，所以，即， 因為，所以，則，所以切線的方程為，即因為，所以可化為同理切線的方程為，可化為.聯(lián)立方程，解得，即，因為，所以，，即，，又因為，所以，把和代入上式，可得，化簡得，解得或，由拋物線定義可得，，所以，因為，，所以， 所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，的值為或.故答案為：或.四、解答題（本大題共6個大題，共70分）17.圍棋是一種策略性兩人棋類游戲，已知圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，從中隨機(jī)取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.（1）求從中任意取出2粒恰好是同一色的概率；（2）求從中任意取出2粒恰好是不同色的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)設(shè)事件“從中任意取出2粒都是黑子”，事件“從中任意取出2粒都是白子”，事件“任意取出2粒恰好是同一色”，因為與互斥，從而得到，得到答案；（2）設(shè)事件“從中任意取出2粒恰好是不同色”，根據(jù)對立事件的概率和為1，結(jié)合（1）得到結(jié)論，得到答案.【詳解】（1）設(shè)事件“從中任意取出2粒都是黑子”，事件“從中任意取出2粒都是白子”，事件“任意取出2粒恰好是同一色”，則，且事件與互斥，則，即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.（2）設(shè)事件“從中任意取出2粒恰好是不同色”，由（1）知事件與事件是對立事件，且，所以任意取出2粒恰好是不同色的概率.【點睛】本題考查互斥事件的概率，利用對立事件的概率關(guān)系求概率，屬于簡單題. 18.已知的三個頂點??.（1）求邊所在直線的方程；（2）邊上中線的方程為，邊上高線過原點，求點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩點式求得邊所在直線方程；（2）由題意可得，求出邊上高線的方程，將點代入的方程，解關(guān)于的方程組即可求解.【小問1詳解】由、可得，所以邊所在直線方程為，即.【小問2詳解】因為邊上中線的方程為，所以點在直線上，可得，因為，所以邊上高線的斜率，因為邊上高線過原點，所以的方程為，可得，由可得：，所以點的坐標(biāo)為.19.已知直線過點和點．（）求直線的方程．（）若圓的圓心在直線上，且與軸相切于點，求圓的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法，代入兩點坐標(biāo)求得直線方程．(2)設(shè)圓心為，半徑為 ，由待定系數(shù)法求得圓的方程．【詳解】（）設(shè)直線的方程為：，將點和點代入得：，解得：，，故直線的方程為．（）設(shè)圓心為，半徑為，則由圓的圓心在直線上，且與軸相切于可得：，解得，故圓的方程為：．【點睛】本題考查由待定系數(shù)法求直線方程與圓的方程．需把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，注意運算的正確性．20.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點分別在棱、上·（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，且平面PQD與平面AQD的夾角的余弦值為，求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算知，即可證得結(jié)論； （2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點，則，，，于是，∴，即．【小問2詳解】由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量．設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得．又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時．設(shè)，而，由此得點，，∵PQ∥平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而． 將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積．21.已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點.（1）求C的方程；（2）設(shè)，直線不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線與C交于另一點D，求證：直線過定點.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為，將點代入求出，即可得解；（2）可設(shè)直線為，，聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，然后求出直線的方程，整理分析即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為雙曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的方程為，將點代入得，解得， 所以雙曲線C的方程為；【小問2詳解】解：顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線為，，聯(lián)立，消整理得，依題意得且，即且，，直線的方程為，令，得所以直線過定點. 22.已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，長軸長為4，橢圓C過點.（1）求橢圓C的方程；（2）已知x軸上存在一點E（點E在橢圓左頂點的左側(cè)），過的直線與橢圓C交于點和點，且與互為補角，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，然后將點代入橢圓方程求出即可；（2）設(shè)直線l為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，由與互補可得，由此可算出，然后用表示出即可得出答案.【小問1詳解】由已知得將點代入橢圓方程，得，∴橢圓C方程為.【小問2詳解】設(shè)直線l為（），則E為（）由得，∴，可得①設(shè)，，則，， ∵與互補，∴，則，∴，∴，∴，解得，∴直線l的方程為，且由①可得，，即，由點到直線l的距離，∴令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積S最大值為.