安徽省皖中名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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皖中名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年（上）高三第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分別求出集合，由此求出.【詳解】解一元二次不等式，得，故，由于二次根式要求，則，所以.故選：A．2.在等差數(shù)列中，若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算即得.【分析】在等差數(shù)列中，，而，因此， 所以.故選：B3.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的特點(diǎn)及韋達(dá)定理即可求出、，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)可得結(jié)果．【分析】若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則另一個(gè)復(fù)數(shù)根為，由韋達(dá)定理可得得，解得，則，所以，故有.故選：A．4.已知向量，，且與的夾角余弦值為，則（）A.或B.或C.D.或【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．【詳解】，，，顯然， 故有：，解得或．故選：B．5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得出等差數(shù)列的基本量，計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】記等差數(shù)列的公差為，由可得，整理得；因?yàn)?，，即；整理可得，?lián)立可得，，故；故選：A．6.已知函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【分析】根據(jù)題意，函數(shù)，令，由正實(shí)數(shù)知，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增且， 所以，解得：，故的取值范圍是故選：C.7.戰(zhàn)國(guó)時(shí)期成書經(jīng)說(shuō)記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”這是中國(guó)古代人民首次對(duì)平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的坐標(biāo)為，則反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交．設(shè)反射光線所在直線的方程為，即，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑．因?yàn)橄议L(zhǎng)，所以根據(jù)勾股定理得，圓心到反射光線距離，故，即，解得或．故選：A8.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可求的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)，即可計(jì)算得解．【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即，可得，因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因?yàn)?，，?lián)立解得：，，故有：，從而有．故選：B．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.B.C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式，分別判斷各個(gè)選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò)，即可得結(jié)果．【詳解】對(duì)于A中，取，，此時(shí)，所以A不正確；對(duì)于B中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確； 對(duì)于C中，由，因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，取得最小值，所以C正確；對(duì)于D中，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.故選：BCD.10.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)法向量為，若點(diǎn)，到的距離相等，則實(shí)數(shù)的可能值為（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】分直線和直線與直線相交兩種情況求解即可．【詳解】由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)法向量為，可得，當(dāng)直線時(shí)，則，即；當(dāng)直線與直線相交時(shí)，則，在直線的兩側(cè)，則，解得或．故選：AC．11.若函數(shù)，則（）A.B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.曲線切線的斜率可以為D.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心【答案】BD【解析】【分析】A項(xiàng)，求導(dǎo)賦值可得；B項(xiàng)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性再求極值；C項(xiàng)，研究導(dǎo)函數(shù)值域即可；D項(xiàng)，證明.【詳解】選項(xiàng)A，由題意得，所以，解得，A錯(cuò)誤； 選項(xiàng)B，由，則，，由得，或，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，B正確；選項(xiàng)C，，所以曲線的切線的斜率不可能為，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)?所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，D正確.故選：BD.12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（）A.，E，O三點(diǎn)共線B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與平面所成的角為D.過(guò)點(diǎn)，B，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ABD【解析】 【分析】由題意可證得三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則直線與平面所成的角為，根據(jù)余弦定理，求解可判斷C；取的中點(diǎn)，因?yàn)椋缘妊菪尉褪沁^(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榈酌鍭BCD的中心，所以為BD和AC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即三點(diǎn)共線，故A正確；三棱錐的外接球和正方體是同一個(gè)外接球，棱長(zhǎng)為1，所以，所以外接球的表面積，故B正確；因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，又平面，所以平面，平面所以平面平面，平面平面，所以在平面的射影為，即直線與平面所成的角為， ，，，,故C錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，如圖：因?yàn)?，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出同時(shí)滿足下列條件的函數(shù)的一個(gè)解析式__________.．【答案】答案不唯一【解析】【詳解】分析題中兩個(gè)條件得到的性質(zhì)，從而得解.【分析】因?yàn)?，故函?shù)是上的偶函數(shù)，又因?yàn)椋剩?因此函數(shù)是周期為的函數(shù)，故滿足以上條件的一個(gè)函數(shù)為．故答案為：（答案不唯一）.14.現(xiàn)有甲乙兩個(gè)形狀完全相同的正四棱臺(tái)容器如圖所示，已知，，現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當(dāng)水的高度是正四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當(dāng)水的高度是正四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)__________分鐘．【答案】【解析】【詳解】利用臺(tái)體的體積公式，結(jié)合題意求得水流速度，再求出乙容器中水的容積，由此得解.【分析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，由，正四棱臺(tái)的中截面是邊長(zhǎng)為的正方形，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，甲容器內(nèi)水的容積為，設(shè)水流速度為，則，，當(dāng)乙容器中水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，水的容積為，所以當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)為分鐘.故答案為：.15.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面分別為棱，上一點(diǎn)，則的最小值為______. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，作出將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)到四點(diǎn)共面的平面圖形，利用兩角和的正弦公式得，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，平面，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，則，所以，如圖，將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)到四點(diǎn)共面，此時(shí)過(guò)作于，則的最小值為故答案為：. 16.已知，，，且，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，若函數(shù)在區(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與三角恒等變換化簡(jiǎn)，再由的零點(diǎn)求得的值，進(jìn)而得到，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，令，即，故?dāng)，是的兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，為的一個(gè)周期，即，解得，故有，令，則，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間上至少有個(gè)不等根，即與在區(qū)間上至少有個(gè)交點(diǎn)，其中，， 由圖可知，即，，的最小值為.故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，利用基本量法即可求出，從而得出通項(xiàng)公式；（2）利用第（1）小問求出，再由錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和即可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所?因?yàn)槌傻缺葦?shù)列， 所以，得或.因?yàn)榇藬?shù)列各項(xiàng)均為正，所以得.【小問2詳解】，所以，所以，兩個(gè)等式相減得,，所以,所以.18.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，B.（1）求角的大??；（2）若，的角平分線交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將??化成??，然后結(jié)合正弦定理求解；（2）運(yùn)用等面積法先表示出??，然后結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解線段??長(zhǎng)度的最大值．【小問1詳解】， 由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，，，即，又，．【小問2詳解】因?yàn)?，，所以由余弦定理得，即，所以，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以長(zhǎng)度的最大值為．19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；，（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得和，得到，得到 ，再由，得到為等比數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到，結(jié)合分組求和，即可求解.【小問1詳解】解：依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，即，所以，所以，所以，即．所以，所以，又因?yàn)椋?，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．【小問2詳解】解：由（1）知，，可得，所以．20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的符號(hào)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）原不等式等價(jià)于，等價(jià)于證明，構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求解最大值即可證明.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，.令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）可得，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以.設(shè)，則，令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以命題得證.21.已知半徑為的圓的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程；（3）過(guò)點(diǎn)任作一條不與軸垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，在非正半軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）存在滿足條件，且坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合待定系數(shù)法即可求解圓心，（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓可得圓 方程，進(jìn)而可得公共弦的直線方程，或者利用向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可得切線方程，進(jìn)而可得直線方程，（3）根據(jù)斜率和為0，結(jié)合斜率公式以及韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn)求解.【小問1詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】法1：由條件可知四點(diǎn)共圓，且直徑，記為圓，則,半徑，所以圓的方程為，因?yàn)閳A的方程為，兩圓方程相減可得，所以直線的方程為；法2：設(shè)，設(shè)直線上任意不同于點(diǎn)的點(diǎn)為，根據(jù),可得切線的方程為，因?yàn)樵谥本€上，所以，同理，從而直線的方程為，即；【小問3詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由題可設(shè)直線，，由，得，∵點(diǎn)圓內(nèi)部，∴恒成立，則， 因?yàn)椋?，即，即是，整理得，從而，化?jiǎn)有，因?yàn)閷?duì)任意的都要成立，所以，由此可得假設(shè)成立，存在滿足條件的，且坐標(biāo)為．22.如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先由面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而求得，進(jìn)而利用勾股定理證得，由此利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）結(jié)合（1）中條件，建議空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解. 【小問1詳解】正方形中，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，又，，∴，又∵，∴，∴，又，∴，又，平面，∴平面.【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題意，由（1）知，平面，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BM，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為，∴，令，∴，，∴，由（1）知平面的法向量為， ∴，即，即，即，解得或（舍去），